Nhóm so (3) và ứng dụng trong cấu trúc hình học tinh thể

Bài viết sử dụng lý thuyết nhóm để nghiên cứu cấu trúc đại số của tập các phép quay SO(3) trong không gian thực 3 chiều. Tiếp đó, bằng phương pháp đại số, bài viết gửi đến biểu diễn ma trận của một phép quay trong không gian 3 chiều. Đặc biệt, bài viết cũng giới thiệu một số nhóm con đặc biệt của nhóm SO(3) và mô hình thực tế trong nghiên cứu cấu trúc hình học tinh thể của các nhóm con đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nhóm so (3) và ứng dụng trong cấu trúc hình học tinh thể NHÓM SO (3) VÀ ỨNG DỤNG TRONG CẤU TRÚC HÌNH HỌC TINH THỂ Ngô Quốc Hoàn Khoa Toán - Khoa học Tự nhiên Email: hoannq@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 31/8/2020 Ngày PB đánh giá: 07/10/2020 Ngày duyệt đăng: 16/10/2020 TÓM TẮT: Bài viết sử dụng lý thuyết nhóm để nghiên cứu cấu trúc đại số của tập các phép quay SO(3) trong không gian thực 3 chiều. Tiếp đó, bằng phương pháp đại số, bài viết gửi đến biểu diễn ma trận của một phép quay trong không gian 3 chiều. Đặc biệt, bài viết cũng giới thiệu một số nhóm con đặc biệt của nhóm SO(3) và mô hình thực tế trong nghiên cứu cấu trúc hình học tinh thể của các nhóm con đó. Từ khóa: Phép quay, Nhóm SO(3), Nhóm SO(2). THE GROUP SO (3) AND APPLICATIONS IN MOLECULAR STRUCTURES ABSTRACT: This paper uses the theory of groups to study the algebraic structure of set SO3 of rotations in  3 . Nextly, via the algebraic method, this paper gives the matrix of rotations in  3 . In particular, this paper also presents some special subgroups of SO(3) and their applications to research the molecular structures. Keywords: Rotation, Group SO(3), Group SO(2). 1. GIỚI THIỆU Phép quay là một trong những khái niệm Toán học thường xuyên được xuất hiện trong thực tế, chẳng hạn như Trái Đất quay quanh mặt trời; bánh xe quay xung quanh trục;…. Chính vì thế, nghiên cứu tính chất của tập các phép quay được nhiều nhà khoa học thực tiễn quan tâm. Về mặt toán học, phép quay thuộc lớp các ánh xạ trên không gian điểm, biến điểm này thành điểm khác và bảo toàn khoảng cách giữa các điểm, gọi là phép dời hình [1]. Chính vì vậy, trên tập các phép quay, ta có thể xây dựng tích hợp thành ánh xạ và tìm hiểu cấu trúc đại số (cấu trúc nhóm) trên đó [3,5,6]. Nhóm các phép quay SO (3) có ý nghĩa quan trọng không chỉ trong Toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác, đặc biệt trong vật lý. Trong vật lý lượng tử, các nhóm con của SO(3) , thường được gọi là nhóm đối xứng của phân tử [3], có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc hình học của tinh thể vật chất (phân tử, nguyên tử,…). Bài viết này giới thiệu lý thuyết cơ bản, các thuật ngữ và các tính chất của lý thuyết nhóm sẽ được sử dụng. Tiếp đó, sử dụng lý thuyết nhóm áp dụng trên tập các phép 30 Tạp chí khoa học, Số 44, tháng 01 năm 2021 quay, bài viết xây dựng cấu trúc nhóm SO (3) và phân loại các nhóm con đặc biệt trên nhóm này. Cuối cùng, bài viết tổng hợp một số ví dụ về mô hình nhóm quay được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc tinh thể trong vật lý lượng tử. 2. KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2.1. Nhóm Định nghĩa: Cho một tập G   được trang bị một phép toán 2 ngôi *, gọi là phép nhân, như sau *: G G  G . ( x, y )  xy Ta nói (G,*) là một nhóm nếu phép nhân * trên G thỏa mãn các tính chất sau: o Tính kết hợp: Với mọi a, b,c  G, ta có (ab)c = a(bc). o Tồn tại phần tử e  G sao cho eg = ge = g với mọi g  G. o Với mọi g  G, tồn tại x  G sao cho gx = xg = e. Ta kí hiệu x= g-1 và gọi x là nghịch đảo của g. 2.2. Nhóm hữu hạn Định nghĩa: Cho nhóm (G,*) với phần tử đơn vị e. (i) Phần tử g G được gọi là có cấp vô hạn nếu không tồn tại số nguyên dương n nào sao cho gn = e. Phần tử g được gọi là có cấp hữu hạn m nếu m là số nguyên dương bé nhất sao cho gm = e. (ii) Lực lượng của G, kí hiệu là |G|, được gọi là cấp của nhóm G. Nhóm G được gọi là nhóm hữu hạn nếu và chỉ nếu |G| là hữu hạn. Mệnh đề: Cho nhóm (G,*) với phần tử đơn vị e và g  G có cấp n. Khi đó, k   thỏa mãn gk = e nếu và chỉ nếu n | k. Chứng minh: Giả sử k   thỏa mãn gk = e. Theo thuật toán chia Euclid, tồn tại các số q, r  sao cho k  nq  r;0  r  n. Do đó ta có e = gk = gnq+r = gnq gr = gr. Mặt khác, ta có r < n và n là cấp của G, vì vậy, r = 0. Điều này dẫn đến k = nq, điều phải chứng minh. Ngược lại, nếu k chia hết cho n thì tồn tại q sao cho k = nq. Do đó gk = gnq= eq = e. Mệnh đề được chứng minh. 2.3. Nhóm con Định nghĩa: Cho nhóm (G,*) với e là phần tử đơn vị. Tập hợp con H   của G đóng với phép toán cảm sinh trên G (tức là xy  H với mọi x  H, y  H) được gọi là nhóm con của nhóm G nếu (H, *) là một nhóm. Mệnh đề [4]: Tập con H   của nhóm G là nhóm con khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn (i) Nếu a,b  H thì ab  H. (ii) e H. (iii) Nếu a H thì a-1 H. Chứng minh: ( ) Giả sử H là một nhóm con có phần tử đơn vị eH. Khi đó ta có, mệnh đề (i) là hiển nhiên. Bây giờ ta có eH eH = eH =e eH. Vì vậy, theo luật giản ước ta có eH = e. Mệnh đề (ii) được chứng minh. Mặt khác, nếu a  H có nghịch đảo tro ...