Ôn tập đại số cơ sở bài 10 -TS Trần Huyền

Ôn tập đại số cơ sở bài 10-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 10 -TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 8 tháng 4 năm 2005 Bài 10. Các Bài Toán V Iđêan Và Vành ThươngIndêan trong vành có vai trò tương t như ư c chu n trong nhóm, giúp hình thành nên c utrúc vành thương. Cho vành X, b ph n I = ø trong X đư c g i là m t idêan n u I ⊂ X đ ng th i th a mãn vđi u ki n: ∀x ∈ X, ∀a ∈ I thì ax, xa ∈ I (*). Đi u ki n sau cùng (*) có th đư c g i là đi u ki n hút hai phía (t c ph n t x ∈ X dùdính bên trái (xa) hay dính bên ph i (ax)) v i các ph n t a ∈ I thì b hút vào trong I!) Khi I là idean c a X (Kí hi u : I X) thì t p thương X I = {x + I : x ∈ X} đư c trangb các phép toán (xác đ nh h p lí ! ) sau : • Phép c ng : (x1 + I) + (x2 + I) = (x1 + x2 ) + I. • Phép nhân : (x1 + I)(x2 + I) = x1 x2 + I,s tr thành m t vành, g i là vành thương c a vành X theo idean I và kí hi u là (X I; +, .)hay đơn gi n hơn : X I.N u X là vành giao hoán thì X I giao hoánN u X là vành có đơn v 1 thì X I có đơn v là 1 + I. Tuy nhiên, n u X không có ư c c a0 thì X I nói chung không đư c th a k vô đi u ki n tính ch t nói trên c a X (đ c gi hãyth suy nghĩ xem, lí do vì sao?)Các bài toán v inđêan và vành thương thư ng g p trư c h t là các bài toán ki m tra m t bph n nào đó c a m t vành cho trư c là iđêan và mô t c u trúc c a vành thương theo iđêanđó.Đ ki m tra m t iđêan ta dùng tiêu chu n iđêan đư c phát bi u như sau :Cho vành X, t p I = ø trong X là iđêan c a X khi và ch khi : ∀a, b ∈ I : a−b∈I ∀x ∈ X, ∀a ∈ I : ax, xa ∈ I 11. Ví d 1 : Cho các t p s ph c sau : √ √ Z( −5) = a + b −5 : a, b ∈ Z √ I = 5a + b −5 : a, b ∈ Z √ (a) Ch ng minh r √ Z( −5) là vành v i hai phép c ng và nhân thông thư ng các s ng ph c và I Z( −5). √ (b) Ch ng minh r ng vành thương Z( −5)/I là trư ng. Gi i: (a) Chúng tôi dành cho đ c gi dùng tiêu chu n vành con đ ki m tra √ √ Z( −5) ⊂ (C; +; .), và do đó Z( −5) là m t vành. v √ Đ ki m tra I Z( −5), ta có : √ √ • ∀5a1 + b1√ −5, 5a2 + b2 √ ∈ I : −5 √ (5a1 + b1 −5) − (5a2 + b2 −5) = 5(a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −5 ∈ I √ √ √ • ∀a + b√ −5 ∈ Z( −5), ∀5c + d −5 ∈ I : √ √ (a + b √ −5)(5c + d√−5) = 5(ac − bd) + (5bc + ad) −5 ∈ I và √ √ (5c + d −5)(a + b −5) = (a + b −5)(5c + d −5) ∈ I √ V y I là iđêan c a Z( −5). (b) Ta có vành thương : √ √ Z( −5)/I = {(a + b −5) + I : a, b ∈ Z} √ = {a + I : a ∈ Z} (vì b −5 ∈ I) = {0 + I; 1 + I; 2 + I; 3 + I; 4 + I} √ √ D th y Z( −5) là vành giao hoán, có đơn v nên vành thương Z( −5)/I là vành giao hoán, có đơn v . Ta còn ph i ch ng t b t kì ph n t m + I = 0 + I trong vành thương là có ngh ch đ o. Th t v y khi đó m là s không chia h t cho 5 và do 5 là s nguyên t nên (m, 5) = 1. T c t n t i các s nguyên k và t mà km + 5t = 1, và như v y t n t i ph n t (k + I) mà : (m + I)(k + I) = km + I = 1 − 5t + I =1+I t c (k + I) = (m + I)−1 . √ V y Z( −5)/I là trư ng. √ Nh n xét : Đ ki m tra vành thương Z( −5)/I là trư ng ta đã dùng đ nh nghĩa trư ng đ ki m tra. Sau này ta còn có th kh ng đ nh đi u trên nh vào vi c ch ra I là iđêan √ t i đ i√ a Z( −5). Ta cũng có th kh ng đ nh đi u đó nh vi c thi t l p m t toàn c u c ϕ : Z( −5) −→ Z5 , v i Z5 là trư ng, mà ker ϕ = I. Đ đưa các ví d ti p theo, trư c h t ta nh c l i và đ nh nghĩa v iđêan nguyên t , iđêan t i đ i. Đ nh nghĩa : Cho X là vành giao hoán có đơn v 1. Inđêan I X đư c g i là iđêan nguyên t n u xy ∈ I thì ho c x ∈ I ho c y ∈ I. Inđêan I X đư c g i là iđêan t i đ i n u I là iđêan th t s c a X và không b ch a 2 trong b t kì iđêan th t s nào khác I. (Nói cách khác n u có J X mà J ⊃ I thì ho c J = X ho c J = I). V các iđêan nguyên t và iđêan t i đ i c a m t vành X giao hoán có đơn v , chúng ta có th cho m t đ nh nghĩa khác tương đương, th hi n trong ví d sau.2. Ví d 2 : Cho X là vành giao hoán có đơn v 1. Ch ng minh r ng, n u I X thì : (a) I là iđêan nguyên t ⇔ vành thương X/I là mi n nguyên. (b) I là iđêan t i đ i ⇔ X/I là trư ng. Gi i : (a) B i X I là vành giao hoán có đơn v nên các đi u ki n đ nh ra trên có th rút g n hơn như sau : I là iđêan nguyên t ⇔ X I không có ư c c a 0 Th t v y : I là iđêan nguyên t ⇔ xy ∈ X thì ho c x ∈ I ho c y ∈ I ⇔ (x + I)(y + I) = xy + I = 0 thì x + I = ...