Ôn tập đại số cơ sở bài 11-12-13-TS Trần Huyền

Ôn tập đại số cơ sở bài 11-12-13-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 11-12-13-TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 8 tháng 4 năm 2005 Bài 11 Các Bài Toán V Đ ng C u VànhCho các vành X,Y . Ánh x f : X → Y là đ ng c u vành n u ∀x1 , x2 ∈ X thì : f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) và f (x1 x2 ) = f (x1 ) · f (x2 )Nói m t cách v n t t : Ánh x f gi a hai vành là đ ng c u vành (hay đơn gi n hơn : đ ng c u!) n u f b o toàn hai phép toán có trong vành. Đ ng c u vành f đư c g i là đơn c u n u ánh x f đ ng th i là đơn ánh. Đ ng c u vành f đư c g i là toàn c u n u ánh x f đ ng th i là toàn ánh. Và đ ng c u vành f đư c g i là đ ng c u n u ánh x f đ ng th i là song ánh. Hi n nhiên f là đ ng c u ⇔ f đ ng th i là đơn c u và toàn c u. Ta nh c l i sau đây m t vài k t qu đáng đ ý v đ ng c u vành, thư ng đư c s d ngtrong các bài toán liên quan đ n đ ng c u vành. • H t nhân c a m i đ ng c u vành f đư c đ nh nghĩa là : ker f = f −1 (0) luôn là m t Iđêan. K t qu này cho phép chúng ta, khi ch ng minh b ph n khác r ng A là Iđêan c a vành X, có th xác đ nh m t đ ng c u f : X → Y , v i Y là vành nào đó, mà ker f = A. • Đ ng c u vành f : X → Y là đơn c u ⇔ ker f = 0. K t qu này cho phép chúng ta, thay cho vi c ki m tra f đơn ánh, thì ch c n tính h t nhân ker f . 1 • N u f : X → Y là toàn c u vành thì t n t i và duy nh t đ ng c u f : X/Kerf → Y sao cho f = f · p trong đó p là phép chi u p : X → X/ ker f . K t qu này cho phép ta khi ch ng minh v s t n t i m t đ ng c u t m t vành thương X/A t i vành Y nào đó ta ch c n thi t l p m t toàn c u f : X → Y mà ker f = A. • N u f : X → Y là đ ng c u thì f −1 : Y → X là đ ng c u. K t qu này cho th y r ng quan h đ ng c u c a các vành là quan h đ i x ng và khi k t h p v i các tính ch t ph n x , b c c u v n có thì quan h đ ng c u là quan h tương đương. Các bài toán v đ ng c u vành, trư c h t là các bài toán ki m tra tính đ ng c u, đơn c u hay đ ng c u c a m t ánh x nào đó gi a các vành.Ví d 1 Cho vành X và End(X) là vành các t đ ng c u c a nhóm (X, +). V i m i ph n ta ∈ X, xác đ nh ánh x ha : X → X mà ha (x) = ax, ∀x ∈ XCh ng minh r ng : 1. ∀a ∈ X thì ha ∈ End(X) và ánh x ϕ : X → End(X) mà ϕ(a) = ha , ∀a ∈ X là đ ng c u vành. 2. Ch ng minh ϕ là đơn c u n u vành X có đơn v . Gi i 1. Do tính ch t phân ph i c a phép nhân v i phép c ng trong vành X nên ∀a ∈ X : ha (x + y) = a(x + y) = ax + ay = ha (x) + ha (y), ∀x, y ∈ X t c ha : X → X là t đ ng c u nhóm, hay ha ∈ End(X). Đ ki m tra ánh x ϕ : X → End(X) mà ∀a ∈ X : ϕ(a) = ha là đ ng c u vành, ta c n ki m tra v i m i a, b ∈ X thì : ha+b = ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) = ha + hb (1) ha·b = ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b) = ha · hb (2) Vì các v c a các đ ng th c (1), (2) đ u là các ánh x t X vào X, đ ki m tra chúng b ng nhau, ta ch c n ki m tra chúng b ng nhau t i m i đi m c a mi n xác đ nh X. Th t v y, ∀x ∈ X : ha+b (x) = (a + b)x = ax + bx = ha (x) + hb (x) = (ha + hb )(x), và hab (x) = (ab)x = a(bx) = a · hb (x) = ha · hb (x) = (ha · hb )(x) V y ta có đpcm ; t c ϕ là đ ng c u vành. 2 2. Đ ch ng minh ϕ là đơn c u ta tính ker ϕ : ker ϕ = {a ∈ X : ha ≡ 0} = {a ∈ X : ha (x) = 0, ∀x ∈ X} = {a ∈ X : ax = 0, ∀x ∈ X} ⊂ {a ∈ X : a · 1 = 0} = {0} V y ker ϕ = 0, t c ϕ đơn c u khi X có đơn v 1 Ví d ti p sau đây ch ra m t cách ki m tra Iđêan mà không dùng t i đ nh nghĩa hay các tiêu chu n v Iđêan, đ ng th i cũng ch ra cách xác l p đ ng c u t m t vành thương nh s d ng đ nh lý v toàn c u.Ví d 2 Cho R[x] là vành đa th c h s th c và A là t p t t c các đa th c nh n x = 1 làmnghi m. Ch ng minh A R[x] và vành thương R[x]/A là trư ng.Nh n xét : Đ c gi có th x lý ví d này b ng cách ki m tra tr c ti p A R[x], và đ ng th i Alà Iđêan t i đ i đ có đư c k t qu R[x]/A là trư ng. Cũng có th s d ng đ nh lý Bê du nói r ngm i đa th c f (x) ∈ R[x] luôn đư c bi u di n dư i d ng f (x) = q(x)(x+1)+f (1), t đó đ th yr ng m i l p ghép f (x) + A ∈ R[x]/A có m t bi u di n duy nh t dư i d ng f (1) + A v i f (1) =r ∈ R; nh đó xác l p đ ng c u tr c ti p t R[x]/A → R. Tuy nhiên đây, ta mu n x lý ti tki m hơn như sau: Gi iXây d ng ánh x ϕ : R[x] → R, v i R là trư ng s th c, mà ∀f (x) ∈ R[x] thì ϕ(f ) = f (1).Hi n nhiên ϕ là ánh x . Đ ng th i ∀f (x), g(x) ∈ R[x] : ϕ(f + g) = (f + g)(1) = f (1) + g(1) = ϕ(f ) + ϕ(g) ϕ(f (x), g(x)) = f (1) · g(1) = ϕ(f ).ϕ(g)t c ϕ là đ ng c u vành. D th y ϕ là toàn ánh, vì ∀r ∈ R thì ch n f (x) = x+r −1, ta có ϕ(f ) = f (1) = 1+r −1 = r V y ϕ là toàn c u và cho ta : ker ϕ = {h(x) : ϕ(h) = h(1) = 0} = A R[x]và R[x]/A ∼ R, t c R[x]/A là trư ng. =Nh n xét: Trong ví d trên thay cho vi c ch ng minh tr c ti p R[x]/A là trư ng, ta đã xây d ngđ ng c u R[x]/A ∼ R. Như v y đây ta ch p nh n đi u : n u hai vành đ ng c u v i nhau thì =c u trúc đ i s trên hai vành y là như nhau. Th t ra, đi u đó còn đư c nhân r ng hơn như sau : N u đ ng th i trên c hai t p X và Y đ u có trang b hai phép toán c ng và nhân, và n ucó t n t i m t song ánh ϕ : X → Y , b o toàn hai phép toán c ng và nhân (t c ∀x1 , x2 ∈ Xthì ϕ(x1 + x2 ) = ϕ(x1 ) + ...