Ôn tập đại số cơ sở bài 7-TS Trần Huyền

Ôn tập đại số cơ sở bài 7-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 7-TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 31 tháng 1 năm 2005 Bài 7. Các Bài Toán Xác Đ nh Tính Ch t Và Mô T C u Trúc C a M t Nhóm Các bài toán d ng này thư ng có n i dung sau: Cho nhóm X th a mãn m t s đi u ki ncho trư c nào đó, k t lu n c a bài toán yêu c u ch ra r ng, khi đó nhóm X cũng th a mãnm t s tính ch t xác đ nh.Ví d 1 Cho X là nhóm mà v i m i ph n t a ∈ X thì a2 = e. Ch ng minh r ng khi đó X lànhóm aben. V m t nguyên t c, mu n x lý bài toán xác đ nh m t tính ch t nào đó c a nhóm, chúngta c n s d ng các tính ch t thông d ng c a nhóm, k t h p v i các đi u ki n b sung c a bàitoán, phân tích, đánh giá và bi n đ i các tính ch t đã có t i các tính ch t c n có theo đòi h ic a k t lu n bài toán. Các tính ch t thông d ng c a m t nhóm bao g m, trư c h t là các tiên đ trong đ nh nghĩanhóm, và các tính ch t d n xu t t các tiên đ đó, ch ng h n như: • Trong nhóm X luôn có lu t gi n ư c (t c là t m i đ ng th c ax = ay (hay xa = ya) đ u suy ra đư c x = y!) • Trong nhóm X, ph n t a ∈ X là đơn v c a nhóm X ⇐⇒ a2 = a (t c a lũy đ ng!) • Trong nhóm X, ngh ch đ o c a m i ph n t a ∈ X là duy nh t và b = a−1 ⇔ ab = e ho c ba = e. • Trong nhóm X, ngh ch đ o c a m t tích b ng tích các ngh ch đ o theo th t ngư c (t c là (a1 a2 . . . an )−1 = a−1 . . . a−1 a−1 ) n 2 1 • ... 1 Quay tr l i ví d 1, đ ch ng minh X là nhóm aben ta c n ch ra: ∀a, b ∈ X thì ab = ba. Đ có đư c tính ch t c n thi t này ta s d ng đi u ki n b sung c a bài toán là a2 = e, ∀a ∈X, k t h p v i m t s nào đó các tính ch t thông d ng đã có trong nhóm, bi n đ i đ có đư ccác l i gi i sau: • L i gi i th nh t: T đi u ki n bài toán, ta có v i m i a, b ∈ X thì: a2 = e, b2 = e =⇒ a2 .b2 = e.e = e đ ng th i (ab)2 = e. Do đó: a.a.b.b = ab.ab (= e) Th c hi n lu t gi n ư c trái a và lu t gi n ư c ph i b đ ng th c cu i cùng ta đư c: ab = ba (đpcm). • L i gi i th hai: T đi u ki n bài toán: a2 = e, ∀a ∈ X =⇒ a = a−1 , ∀ ∈ X. Do đó ∀a, b ∈ X : ab = (ab)−1 = b−1 a−1 = ba, t c ta có đpcm. đây, chúng tôi ch đưa vài l i gi i cơ b n, n u các b n th c hi n các bư c bi n đ i hơikhác m t chút các b n s có thêm các l i gi i c a riêng mình. Các b n hãy th s c mình xem!Ví d 2 Cho X là nhóm có vô h n ph n t . Ch ng minh r ng X ch a vô h n các nhóm conkhác nhau. Gi i Vì X có vô h n ph n t nên X = {e}. Xét c p các ph n t c a X, có hai kh năng duynh t sau đây: a) Trong X có m t ph n t c p vô h n. Khi đó, nhóm con cyclic sinh b i ph n t a là < a > có vô h n ph n t ; và b n thân < a > ch a vô h n các nhóm con khác nhau sau đây: < a >, < a2 >, . . . , < ak >, . . . Đó cũng là các nhóm con c a X. V y, khi đó X ch a vô h n nhóm con. b) M i ph n t trong X đ u có c p h u h n. Khi đó, xét h J t t c các nhóm con cyclic sinh b i các ph n t c a X, J = {< x >: x ∈ X}. D th y là X = < x >, do đó x∈X n u h J ch ch a h u h n các nhóm con khác nhau thì do: < x >= x∈X ∈J có s ph n t là h u h n, trái v i đi u ki n đã cho X có vô h n ph n t . V y J ch a vô h n các nhóm con khác nhau, t c X ch a vô h n các nhóm con khác nhau. Chú ý r ng các tính ch t c a nhóm là r t phong phú và đa d ng, nó không ch đư c phátbi u cho các ph n t c a t p n n, phép toán trong nhóm mà còn đư c xác đ nh cho nh ngkhái ni m d n xu t t nhóm như là nhóm con, ư c chu n t c, . . . Đ c bi t trong các nhóm h u h n chúng ta có m t tính ch t quan tr ng liên h gi a c pc a nhóm và c p các nhóm con, chính là n i dung c a đ nh lý sau:Đ nh lí 1 (Lagran) Cho nhóm h u h n X, và A ⊂ X. Khi đó, c p A là ư c s c a c p X. n Đ nh lý này có vài h qu cũng thư ng đư c s d ng trong các bài toán xác đ nh tính ch tcho các nhóm h u h n và mô t c u trúc nhóm h u h n đó là: 2H qu 1 C p c a m t ph n t a trong nhóm X là ư c s c a c p X.H qu 2 N u c p c a nhóm X là s nguyên t thì X là nhóm cyclic.Ví d 3 Cho X là nhóm aben c p 6. Ch ng minh r ng X là nhóm cyclic. Gi i Đ ch ra X là nhóm cyclic, ta c n ch ra trong X có ch a m t ph n t c p 6. Vì X c p 6 nên t n t i m t ph n t a ∈ X và a = e. Theo h qu 1 c a đ nh lý Lagrangthì c p a ch có th là 2, 3, 6. N u c p a = 6 thì ta có đpcm. N u c p a = 2 thì nhóm thương X/< a > có c p 3. Khi đó n u b ∈ X/ mà b =< a > thì c p b = 3. Do đó, ph n t đ i di n b ∈ b ph i có c p 6 ho c c p 3. Trư ng h p c p b = 3 thì tích abph i có c p 6. N u c p a = 3 thì nhóm thương X/ có c p 2. Khi đó n u b ∈ X/ mà b =< a > thì c p b = 2. Do đó, ph n t đ i di n b ∈ b ph i có c p 6 hay c p 2. Trư ng h p c p b = 2 thì tích ab cóc p 6. V y trong m i kh năng có th x y ra cho c p ph n t c a a, ta đ u ch ra trong X có ch am t ph n t c p 6, t c X là cyclic. Nh n xét: Trong ví d trên ta đã s d ng s ki n: Các ph n t đ i di n b c a l p ghépb trong nhóm thương là b i c a c p b, đi u này có th ch ng minh đơn gi n như sau: g i c pb = n, khi đó bn = e ⇒ (b)n = bn = e. V y n là b i c a c p b.Ví d 4 Hãy mô t c u trúc c a các nhóm c p 6 không đ ng c u v i nhau. Xét c p c a các ph n t x = e c a nhóm X c p 6. Theo h qu 1 c a đ nh lý Lagrang cót t c các kh năng sau: a) T n t i m t ph n t a c p 6. Khi đó X là nhóm cyclic c p 6 và X ∼ Z6 ...