Ôn tập đại số cơ sở bài 9-TS Trần Huyền

Ôn tập đại số cơ sở bài 9-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn tập đại số cơ sở bài 9-TS Trần Huyền Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 27 tháng 3 năm 2005 Bài 9. Các Bài Toán V Mi n Nguyên Và Trư ngKhái ni m mi n nguyên đư c xem như là s t ng quát hóa tr c ti p c u trúc c a vành snguyên Z. Nó bao hàm h t t t c các tính ch t c a vành Z, đư c đ t trên các phép toán trongZ. C th là :Đ nh nghĩa 1 : Mi n nguyên là vành X giao hoán, có đơn v 1 = 0 (và do v y |X| > 1) vàtích c a hai ph n t khác 0 là khác 0.V đi u ki n sau cùng c a vành X tích c a hai ph n t khác 0 là khác 0 cũng thư ng đư cphát bi u theo m t ngôn ng khác tương đương là : Vành X không có ư c c a 0. Khái ni mư c c a 0 đư c xác đ nh như sau :Đ nh nghĩa 2: Trong vành giao hoán X, ph n t a = 0 đư c g i là ư c c a 0 n u t n t i ph nt b = 0 sao cho ab = 0.Như v y : Mi n nguyên là m t vành giao hoán X, có đơn v 1 = 0 và không có ư c c a 0.Do đi u ki n không có ư c c a 0 có th đư c di n đ t theo các ngôn ng khác nhau, vì v ykhái ni m mi n nguyên ngoài hai đ nh nghĩa đư c nói trên còn có th xác đ nh theo nh ngcách khác.Ví d 1 :Cho vành X giao hoán có đơn v 1 = 0. Ch ng minh r ng X là mi n nguyên ⇔ trong X có lu tgi n ư c cho các ph n t a = 0 đ i v i phép nhân. Gi iCho X là mi n nguyên. Khi đó v i m i a = 0, t đ ng th c ax = ay ta suy ra : ax − ay = 0 ⇒ a(x − y) = 0 ⇒ x − y = 0 (vì a = 0) ⇒x=yt c có lu t gi n ư c cho m i ph n t a = 0 (n u x − y = 0 thì a là ư c c a 0 !).Ngư c l i, n u X là vành giao hoán có đơn v 1 = 0 và có lu t gi n ư c cho m i ph n t x = 0. 1Khi đó n u ab = 0 thì ho c a = 0, ho c a = 0; n u a = 0 thì t ab = 0 = a.0 suy ra b = 0, saukhi gi n ư c a. V y X không có ư c c a 0, t c X là mi n nguyên.Chú ý : Lu t gi n ư c cho m i a = 0 trong mi n nguyên là m t tính ch t quan tr ng c ami n nguyên và thư ng hay đư c s d ng trong khá nhi u bài toán liên quan t i mi n nguyên,ch ng h n ví d 2 dư i đây.Trư c khi đưa ra ví d ti p theo, ta c n nh c l i m t khái ni m quan tr ng khác, là khái ni mtrư ng.Đ nh nghĩa 3: Trư ng là vành X giao hoán có đơn v 1 = 0 và ph n t b t kỳ x = 0 đ u cóngh ch đ o x−1 (t c xx−1 = 1).Hi n nhiên r ng trư ng là m t mi n nguyên và do đó t p các ph n t khác 0 c a trư ng X (takí hi u là X ∗ ) là n đ nh đ i v i phép nhân, đ ng th i l p thành nhóm giao hoán. Vì v y tacó th đ nh nghĩa trư ng, k th a các tri th c v nhóm như sau : Trư ng là m t t p h p X cónhi u hơn m t ph n t , trên đó xác đ nh đư c hai phép toán c ng (+) và nhân (.), th a : 1. (X; +) l p thành nhóm giao hoán. 2. (X ∗ ; .) l p thành nhóm giao hoán. 3. Lu t phân ph i c a phép nhân đ i v i phép c ng.Hi n nhiên mu n ki m tra m t t p X cho trư c v i các phép toán nào đó là trư ng chúng taph i tuân th m t trong các đ nh nghĩa nói trên.Ví d 2 :Ch ng minh r ng m t mi n nguyên h u h n là m t trư ng. Gi iN u X là mi n nguyên h u h n thì hi n nhiên (X; +) là nhóm giao hoán và có lu t phân ph ic a phép nhân v i phép c ng. Vì X là mi n nguyên nên X ∗ n đ nh đ i v i phép nhân (tíchhai ph n t khác 0 là khác 0 !). Phép toán nhân trên X là k t h p, giao hoán nên nó cũng k th p, giao hoán trên X ∗ ⊂ X. Theo ví d 1 phép nhân trên X ∗ có lu t gi n ư c. V y (X ∗ , .)là n a nhóm h u h n (do X h u h n) có lu t gi n ư c nên X ∗ là nhóm và là nhóm giao hoán.V y X là trư ng.Cũng như trong các bài toán ki m tra vành, đ ki m tra m t mi n nguyên hay m t trư ng tacó th ki m tra gián ti p thông qua tiêu chu n c u trúc con, khi đã xác đ nh đư c r ng mi nnguyên hay trư ng c n ph i ki m tra là b ph n c a m t mi n nguyên hay trư ng đã bi t.Đ ý r ng n u X là mi n nguyên còn A ⊂ X, thì A hi n nhiên là giao hoán và không có ư c vc a 0 (hai tính ch t này k th a t X) nên khi đó A là mi n nguyên n u A ch a đơn v 1.Còn X là trư ng thì b ph n A = ø trong X là trư ng con (kí hi u A ⊂ X)t ⇔ ∀x, y ∈ A : x−y ∈A và ∀x, y ∈ A∗ : xy −1 ∈ A∗ .Ví d 3 : Cho các t p s sau : √ √ Z( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Z} √ √ Q( −3) = {a + b −3 : a, b ∈ Q}. √ √Ch ng minh r ng Z( −3) là mi n nguyên, Q( −3) là trư ng v i các phép toán c ng và nhânthông thư ng các s . 2 Gi i : √ √Đ ch ng t Z( −3) là mi n nguyên, do nh n √ y r ng Z( −3) là b ph n c a trư ng s thph c (C; +; .) nên trư c h t ta ch ng t r ng Z( −3) ⊂ C. vTh t v y :√ √ √∀ a1 + b1 −3, a2 + b2 −3 ∈ Z( −3) ta có : √ √ √ √ • (a1 + b1 −3) − (a2 + b2 −3) = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) −3 ∈ Z( −3) √ √ √ √ • (a1 + b1 −3)(a2 + b2 −3) = (a1 a2 − 3b1 b2 ) + (a1 b2 + a2 b1 ) −3 ∈ Z( −3) √V y Z( −3) ⊂ C theo tiêu chu n c a vành con. v √Vì trư ng (C; +; .) là giao hoán, không có ư √ c a 0 nên b ph n Z( −3) cũng giao hoán, c √ √không có ư c c a 0. Hơn n a đơn v 1 = 1 + 0 √−3 ∈ Z( −3). V y ...