Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 6 - PGS TS Vinh Quang

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 6 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 6 - PGS TS Vinh Quang Đ I S TUY N TÍNH MA TR N KH NGH CH Phiên b n đã ch nh s a PGS TS M Vinh Quang Ngày 6 tháng 12 năm 20041 Ma tr n kh ngh ch1.1 Các khái ni m cơ b n Cho A là ma tr n vuông c p n, ma tr n A g i là ma tr n kh ngh ch n u t n t i ma tr nB vuông c p n sao cho AB = BA = En (1)(En là ma tr n đơn v c p n) N u A là ma tr n kh ngh ch thì ma tr n B th a đi u ki n (1) là duy nh t, và B g i là matr n ngh ch đ o (ma tr n ngư c) c a ma tr n A, ký hi u là A−1 . V y ta luôn có: A.A−1 = A−1 .A = En1.2 Các tính ch t 1. A kh ngh ch ⇐⇒ A không suy bi n (det A = 0) 2. N u A, B kh ngh ch thì AB cũng kh ngh ch và (AB)−1 = B −1 A−1 3. (At )−1 = (A−1 )t1.3 Các phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o1.3.1 Phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o nh đ nh th c Trư c h t, ta nh l i ph n bù đ i s c a m t ph n t . Cho A là ma tr n vuông c p n,n u ta b đi dòng i, c t j c a A, ta đư c ma tr n con c p n − 1 c a A, ký hi u Mij . Khi đóAij = (−1)i+j det Mij g i là ph n bù đ i s c a ph n t n m dòng i, c t j c a ma tr n A. Ma tr n    t A11 A21 · · · An1 A11 A12 · · · A1n  A12 A22 · · · An2   A21 A22 · · · A2n  PA =  . . = .     . . . .. .   . . . .. .  .   . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann An1 An2 · · · Anng i là ma tr n ph h p c a ma tr n A. 1 Ta có công th c sau đây đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a A. Cho A là ma tr n vuông c p n. N u det A = 0 thì A không kh ngh ch (t c là A không có ma tr n ngh ch đ o). N u det A = 0 thì A kh ngh ch và 1 A−1 = PA det A Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   1 2 1 A= 0 1 1  1 2 3 Gi i Ta có 1 2 1 det A = 0 1 1 =2=0 1 2 3V y A kh ngh ch. Tìm ma tr n ph h p PA c a A. Ta có: 1 1 A11 = (−1)1+1 =1 2 3 0 1 A12 = (−1)1+2 =1 1 3 0 1 A13 = (−1)1+3 = −1 1 2 2 1 A21 = (−1)2+1 = −4 2 3 1 1 A22 = (−1)2+2 =2 1 3 1 2 A23 = (−1)2+3 =0 1 2 2 1 A31 = (−1)3+1 =1 1 1 1 1 A32 = (−1)3+2 = −1 0 1 1 2 A33 = (−1)3+3 =1 0 1 Vy   1 −4 1 PA =  1 2 −1  −1 0 1 2và do đó   1 1   1 −4 1 −2 1 2 2 A−1 =  1 1 2 −1  =  2 1 −1  2 2 −1 0 1 −1 2 0 1 2 Nh n xét. N u s d ng đ nh th c đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a m t ma tr n vuông c pn, ta ph i tính m t đ nh th c c p n và n2 đ nh th c c p n − 1. Vi c tính toán như v y kháph c t p khi n > 3. B i v y, ta thư ng áp d ng phương pháp này khi n ≤ 3. Khi n ≥ 3, ta thư ng s d ng cácphương pháp dư i đây.1.3.2 Phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o b ng cách d a vào các phép bi n đ i sơ c p (phương pháp Gauss) Đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A vuôn ...