Parabol cơ bảm đến nâng cao

Parabol cơ bảm đến nâng caoTrong toán học, parabol (Tiếng Anh là parabola, bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp παραβολή) là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).Trường hợp đặt biệt xảy ra khi mặt phẳng cắt tiếp xúc với mặt conic. Trong trường hợp này, giao tuyến sẽ suy...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Parabol cơ bảm đến nâng cao C. Parabol I. ®Þnh nghÜa vµ ph−¬ng tr×nh 1. §Þnh nghÜa: trong mÆt ph¼ng, cho ®−êng th¼ng ∆ vµ mét ®iÓmF kh«ng thuéc ∆. TËp c¸c ®iÓm M trong mÆt ph¼ng sao cho kho¶ngc¸ch tõ M ®Õn F b»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ∆ lµ mét Parabol nhËn Flµm tiªu ®iÓm vµ ∆ lµm ®−êng chuÈn. Sè p b»ng kho¶ng c¸ch tõ F ®Õn∆ ®−îc gäi lµ tham sè tiªu. 2. Ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c p  NÕu ta chän hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho ®iÓm F  , 0  vµ ®−êng 2  pth¼ng ∆ cã ph−¬ng tr×nh: x = − , th× trong hÖ trôc ®ã, Parabol cã 2ph−¬ng tr×nh d¹ng: 2 y = 2px 3. Mét sè tÝnh chÊt 2 a) Parbol y = 2px lµ h×nh kh«ng bÞ chÆn, cã 1 trôc ®èi xøng Ox,®ã lµ ®−êng th¼ng qua tiªu ®iÓm vµ vu«ng gãc víi ®−êng chuÈn.Parabol kh«ng cã t©m ®èi xøng. b) NÕu ®iÓm Mo (xo, yo) thuéc Parabol, th× MoF lµ b¸n kÝnh qua ptiªu ®iÓm MoF = xo + . 2 c) T©m sai cña Parbol e = 1 II. TiÕp tuyÕn 2 Cho Parbol (P) cã ph−¬ng tr×nh y = 2px (p > 0). 1. NÕu ®iÓm Mo (xo, yo) ∈ (P) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm Mo cña (P)cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: yoy = p(x + xo). 2. §−êng th¼ng ∆ cã ph−¬ng tr×nh Ax + By + C = 0 tiÕp xóc víi 2(P): y = 2px khi vµ chØ khi ta cã 2 B p = 2AC 1 3. NÕu ®iÓm Mo (xo, yo) kh«ng thuéc Parbol, th× ®Ó cã tiÕp tuyÕnqua ®iÓm Mo, cÇn vµ ®ñ lµ y2 > 2pxo. Khi ®ã cã hai tiÕp tuyÕn qua o®iÓm Mo. C¸ch viÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn nh− sau: C¸ch 1. Gi¶ sö T (x1, y1) lµ tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn cÇn t×m. Khi®ã ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã d¹ng: y1y = p(x + x1) Ta t×m (x1, y1) bëi hÖ:  y2 = 2px v× T(x , y ) ∈ (P)  1 1 1 1   y1y o = p(xo + x1 ) v× tiÕp tuyÕn qua M o (x o , yo )  C¸ch 2. XÐt ®−êng th¼ng (∆) qua ®iÓm Mo(xo, yo). Ph−¬ng tr×nh(∆) cã d¹ng: A (x − xo) + B(y − yo) = 0 hay Ax + By − (Axo + Byo) =0, (∆). 2 2 §−êng th¼ng (∆) tiÕp xóc víi (P): y = 2px khi vµ chØ khi: B p = 2 2−2A (Axo + Byo) hay B p + 2AByo + 2xoA = 0. Tõ ®©y, ta t×m ®−îc A, B sai kh¸c mét h»ng sè tû lÖ. III. LuyÖn tËp 2 1. Cho Parabol y = 2px, Mo(xo, yo) lµ ®iÓm trªn mÆt ph¼ng saocho y2 > 2px o . Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn ®Õn Parabol, t¹i c¸c tiÕp ®iÓm oT1 vµ T2. H·y viÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng T1T2. Lêi gi¶i: Gi¶ sö T1 (x1, y1), T2 (x2, y2). Khi ®ã tiÕp tuyÕn t¹i T1 cã ph−¬ngtr×nh d¹ng: y1y = p (x + x1). Theo gi¶ thiÕt tiÕp tuyÕn ®o qua Mo(xo,yo), nªn ta cã: yoy1 = p (xo + x1) (1) T−¬ng tù, tiÕp tuyÕn t¹i T2 (x2, y2) cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: y2y = p(x + x1); Do tiÕp tuyÕn nµy qua Mo (xo, yo) nªn ta cã: yoy2 = p (xo + x2) (2)2 XÐt ®−êng th¼ng ∆ : yoy = p (x + x0). Do c¸c hÖ thøc (1) vµ (2).Ta cã T1 (x1, y1), T2 (x2, y2) ∈ ∆. Do ®ã ph−¬ng tr×nh T1T2 lµ: yoy =p (x + xo). 2 2. Cho Parabol y = 2px, t×m tËp hîp c¸c ®iÓm M, tõ ®ã cã thÓ kή−îc hai tiÕp tuyÕn tíi Parabol vµ hai tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc. Lêi gi¶i: Gi¶ sö M (X, Y) vµ ∆ lµ ®−êng th¼ng qua M vµ cã hÖ sègãc k. Ph−¬ng tr×nh cña ∆ cã d¹ng: y − Y = k(x − X) hay kx − y + (Y− kX) = 0. §−êng th¼ng ∆ tiÕp xóc víi Parabol khi vµ chØ khi: p = 2k (Y − kX) hay 2 2X.k − 2Yk + p = 0 (1) Theo gi¶ thiÕt, qua M(X, Y) cã hai tiÕp tuyÕn víi Parabol vµ haitiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc, nªn ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm k1, k2 mµ p pk1. k2 = − 1 hay = −1 ⇔ X = − ⇔ M (X, Y) thuéc ®−êng 2X 2chuÈn cña Parabol. 2 5  3. Cho Parabol (P) cã ph−¬ng tr×nh y = 10x vµ ®iÓm I  , 5  2 n»m trÒn (P). Mét gãc vu«ng thay ®æi quanh I vµ hai c¹nh cña gãcvu«ng ®ã c¾t (P) t¹i M, N kh¸c I. Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng MNlu«n qua ®iÓm cè ®Þnh. 2 2 Lêi gi¶i. Gi¶ sö M (10 m , 10m), N(10n , 10n).  5  Khi ®ã IM  10m 2 − ,10m − 5   2   5  IN  10n 2 − ,10n − 5   2  Ta cã IM ⊥ IN ⇔ IM.IN = 0  5  5 ⇔  10m 2 −   10n 2 −  + ( 10m − 5 ) ( 10n − 5 ) = 0  2  2 ⇔ 25 4 ( )( ) 4m 2 − 1 4n 2 − 1 + 25 ( 2m − 1 ) ( 2n − 1 ) = 0 ⇔ (2m − 1) (2n − 1) [(2m + 1)(2n + 1) + ...