Phần 2 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế

Nội dung của Tài liệu Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 1 - Đại số tuyến tính (Phần 2) chủ yếu giúp các bạn biết cách giải những bài toán về hệ phương trình tuyến tính (hệ phương trình Crammer, hệ phương trình tuyến tính tổng quát và thuần nhất, mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế); dạng toàn phương. Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phần 2 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYÊN TÍNH § ỉ . H ệ p h ư ơ n g trìn h C ram er A. Tóm tắt lý thuyết và các v í dụ mẫu ĐỊnh nghĩa: Hẹ phương trình Cramer là hẹ phương trình gổm n phương trình n ẩn có dạng: (1) a„|X, + + - + an„x„ = K với định thức của ma trận hẹ sđ khác 0, tức là det(A ) * 0, ở đỉy an an lll a 22 A= V“ nl a n2 Phương pháp ma trận V í b' ì Xj bj với x = ,B= |d et(A )* 0 A , VI det(A) * 0 => 3A1, nên hệ có nghiệm duy nhất: X = A~'B. (3) Ví dụ I. Giải hệ sau bằng phưong pháp ma trận | 3x - 2y + z = 4 2x + 3 y - z = 1 - x + y +3z = -3 Giải: Hệ ưên được viết ở dạng ma trận AX = B, với: / \ '3 -2 r X '4 ' A= 2 3 - 1 , x = y , B= 1 -1 1 3, -3 , 3 -2 1 Ta có det A = 2 3 - 1 = 45 * 0 nền hệ trên là hẹ Cramer. -1 1 3 ( ị -L 43 _-L) 45 Ma trận nghịch đảo cùa ma trận A là: A~' = ị 9 19 _ x 45 1145 / Áp dụng công thức (3) ta có: ' 19 45 . 45 9 x = y = A -'B = - ị ị i 1 = -ị . Vậy nghiệm duy nhất cùa hệ là Ị^x = — , y = z= j. Phương pháp định thúc (Quy tác Cramer) Định lý: Hẹ Cramer (1) có nghiệm duy nhát dược xác định bởi còng thức: (4) trong dó: d - là định thức của ma trân hệ số; dỊ (j = l,2,...,n) là định thức nhạn dược từ định thức d khi thay cọt thứ j bằng cột hệ số tự do. VI dụ 2: Giải hệ sau bằng quy tấc Cramer 3x - 2 y + z = 4 2x + 3y - 2 3x + y - 2 z = 6 20x + 32y + 4z = 8 6x + 3 y -7 z =16 = -4 2 1 8 x -1 2 y + 36z 15x + 2y+ z =16 24x + I2y -1 2 z =-«0 X, + Xj + 2 x , + 3 x 4 = 1 X, + 3 x 2 + 5 x , + 7 x4 =12 3 x , - Xj - X , - 2 x4 * -4 3 x ,+ 5 x ,+ 7 x , + *4 = 0 8. 2 x , + 3 X j - Xj - x4 = - 6 5x,+ 7x, + X, +3x4 = 4 X, + 2 x j + 3 x , - x4 = -4 7 x , + X, + 3 * , + 5 x 4 = 1 6 X, + 2 x j + 3 x j + 4 x 4 = 5 X, + 2 x j + 3 x , - 2 x 4 = 6 2 x , + Xj + 2 x , + 3 x 4 = 1 2 x , - Xj - 2 x , - 3 x 4 = 8 10. 3 x , + 2 x , + X, +2xt = 1 3x, + 2 X j - X, +2x, = 4 4 x ,+ 3 x 2+ 2x, + x4 = -5 2 x ,- 3 x , + 2 x , + x4 = -8 6x,+9xj+33x, + 15x4 = 6 7x,+7x,+35x, + 14x« = 7 8 x ,+ 4 x ,+ 1 2 x ,+ 8 x < =-12 9x,+ 9 x j +27x,+36 x4 =-27 30 x , +40x, + 5x, +10x X, + 2 X j+ 3 x ,+ 4 x 4+ 5Xj =13 2x,+ x , + 2 x ,+ 3 x J + 4xJ =10 14. ■ |2x,+ 2x,+ X , + 2x4 + 3x, =11 2x, +2Xj + 2x, + x4 + 2xs = 6 2 x ,+ 2 x , + 2 X j + 2 x 4 + Xj = 3 n. Đáp s¿ I. (x = l, y = 2, z = -2 ). 2. (x = 2, y = - 2 ,z = 3). 3. (x = l, y = 1, z = l). 4. (x = 0, y = 0, 2 = 0 ). 5. (x = l, y = 1, z = - l ) . 6. (x = -3 ...