Phần 7. Giải quyết mộ t số bài toán mà điều kiện liên quan mật thiết đến nhau

Đa phần các bài toán xét đến ở trên đều có điều kiện mà các biến liên hệ với nhau ko quá chặt Thường là điều kiện ở dạng a + aị +... + akn_x + akn = n . Tức là ta có thể tách ra theo từng biến để tìm bất đẳng thức phụ. Tuy nhiên với một số bài toán mà điều kiện thiết lập (Y m ối quan hệ “bền chặt” đại loại như I ^a thì việc tìm ra bất đẳng thức phụ tương đố
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phần 7. Giải quyết mộ t số bài toán mà điều kiện liên quan mật thiết đến nhauPhần 7. Gi ải quyết mộ t số bài toán mà điều kiện liên quan mật thiết đến nhauĐa phần các bài toán xét đến ở trên đều có điều kiện mà các biến liên hệ với nhau ko quá chặtThường là điều kiện ở dạng a + aị +... + akn_x + akn = n . Tức là ta có thể tách ra theo từng biếnđể tìm bất đẳng thức phụ. Tuy nhiên với một số bài toán mà điều kiện thiết lập(Ym ối quan hệ “bền chặt” đại loại như I ^a thì việc tìm ra bất đẳng thức phụ tương đốiV i=1 Jkhó khăn vì ta không thể đánh giá theo từng biến nữa. Và để áp dụng U.C. T trong những bài toánnhư vậy chúng ta phải dùng đến một s ố tính chất của hàm số.>Bài toán 25.Cho a, b, c là các s ố thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng>^2■+■ nb + c +1 c + a +1 a + b +1 Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Holder ta cóa^Ịb + c by/c + a Cs/a + b .v■+ ■c + a c + ^—— +> (a + b + c)3J hVDo đó ta cần phải chứng minh 4b + c +1 c + a +1 a + b +1^ ayỊb + c bỊt 2(a + b + c)3 > 2ỵcyca3 + 3Y a +3Ỵ b +6 > 4Ỵ ab +4Ỵ a +2Y — ccyc cyc ^ cyc ^ cyc cyc cyc ^ ^Áp dụng bất đẳng thứ c AM-GM ta có oZ a V, J V 1 b V 1 1 V 1 a 1 V 1 a 1 V 1 b->Y ab, y->y ab,2Y——< — ?— + —Y — ihb a b + c 2 b 2acyc ^ cyc cyc ^ cyc cyc ^ 1 ^ cyc ^ ^ cyc ^Từ đó ta cóVT - VP >Y a3 + 5 Y a + 5 Y - -4Y ab -4Y a +6 u— b2acyc ^ cyc ^ ^ cyc ^ cyc cyc V 3> Ya +Yab -4Ỵa +6 = Y| a3 - 4a +1 + 2 I acyc cyc cyc cyc V Ja(b + c +1) b + c3 1Xét hàm s ô f (x) = x - 4x + + 2 + 2 ln x với x > 0 ta cóxfl( x) = (x-1)I 3x + 3 + - -I x xNếu x < 1 thì > —, nếu x > 1 ^ 1 > — do đó f (x) = 0 ^ x = 1 x x xTừ đó đễ dàng kiểm tra rằng f (x) > f (1) = 0, Vx > 0 Hay3 1x - 4x + — + 2 > -2ln x, Vx > 0 xNhư vậy ta có— í a3 -4a +1 + 2 I >-27 lna = 0 acyc V J cycwww.vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1Bài toán được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. n .v h 4 2 c o ih u Vwww.vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 2Bài toán 26. [Lê Hữu Điền Khuê, THPT Quôc Học, Thành phô Huế ]Cho a, b, c là các s ô thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng111 1 1 >13a2 + (a -1)2 3b2 + (b -1)2 3c2 + (c -1)2Chứng minh. Xét hai trường hợp sau+ Trường hợp 1. Nếu trong ba s ô a, b, c tồn tại ít nhất một s ô không lớn hơn — . Giả sửs ô đó là a. Ta có a < — ^ 3a2 + (a -1)2 < 1. Khi đó bất đẳng thức hiển nhiên đúng.+ Trường hợp 2. Cả ba sô a,b,c đều không nhỏ hơn 1 khi đó ta xét hàm sô sau Giông như cácphần trước ta có cũng sẽ thiết lập một bất đẳng thức phụ dạng1 — + k ln x3x + (x -1)2 3 2 nỞ đây ta có qui về hàm sô mũ và chú ý ln x + ln y + ln z = 0.Tiếp tục quan sát thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Từ đó ta có phải xác định k .vsao cho f (1) = 0.1 2, 1f (x) = —-— - + — ln x — h3x + (x -1)2 3 3Với x > —. Khi đó ta có 42/ 2(16x4 -16x3 - x +1) _ 2(x-1)(16x3-1) 2(x) = 3x(4x2 - 2x +1)2 = 3x(4x - 2x +1)2Từ đây suy ra f(x) = 0 ^ x = 1, do x >1 ...