Phần II: Tỷ số thể tích

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a. Gọi M,N,P là trung điểm AB, AD, SC.Chứng minh: (MNP) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phần II: Tỷ số thể tích PHẦN II: TỶ SỐ THỂ TÍCHBài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a. Gọi M,N,P là trung điểm AB, AD, SC.Chứng minh: (MNP) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.Giải: Trong (ABCD): MN cắt AC tại ETrong (SAC): PE cắt SO tại ITa lại có MN // BD = > (MNP) (SBD) = Ix // BDIx SD = Q; Ix SB =TThiết diện của (MNP) với hình chóp là ngũ giác MNQPTTam giác AOD có NE // DO (NM // BD) = > E là trung điểm AO=> EO = => EO = có E, I, P thẳng hàng theo định lý Mê-nê-la-uýt ta có:Xét tam giác=> => => (QT // DB)Đặt V là thể tích hình chópĐặt V1 là phần thể tích hình chóp chứa A. Ta có V1= VS.APQ + VS.APT + V N.PAQ + VM.APT + VA.PMN mà SADC = SABCDTa lại có (1)=> VS.APQ = V (2)Tương tự VS.APT = V mà SDQP = SDSP= SDSCMặt khác:=> VA.NQP = VS.ADC= V (3)Ta có:mà SPTB = SPBS = SBSC=> VA.MPT = VA.SBC = V (4)mà SAMN = SABD = SABCD => VP.AMN = V (5)(1) + (2) +(3) + (4) + (5) => V1= V (đpcm)Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp a) Qua O dựng mặt phẳng vuông góc SC tại K; mặt phẳng này cắt CA, CB tương ứng tại M và N. CM: b)Cho OK= a và góc tao bởi (SAC) và (SBC) là 2 . CM:Giải: a) Gọi E là trung điểm AB. AB vuông góc CE Ta lại có AB vuông góc SO(SO vuông góc đáy) => AB vuông góc SC Mặt khác: => AB // MN => MN => MN =>MN (1) Ta lại có MN//AB, E là trung điểm AB, CE MN = O => O là trung điểm MN (2) (1) và (2) => . => góc giữa (SAC) và (SCB) là b) Ta có (MKN) => Ta có: MN vuông góc OK => ON = OK.tanOKN = a.tan Mặt khác: => BE = => BA = 2BE = 3a.tan SABC = CO = Tam giác SOC vuông tại O có OK vuông góc SC => => SO = VS.ABC = Mặt khác: => V.SABC =Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có tất cả các góc ở đỉnh A và B là các tam diện đều và bằng . Tính thể tích hìnhchóp.Giải: Xét => CH vuông góc với AB (H là trung điểm AB) Tương tự SH vuông góc với AB => (SHC) vuông góc với AB => AB vuông góc với SC Kẻ HK vuông với SC => SC vuông góc với (AKB) Ta có => Tam giác SBC cân tại B có K là trung điểm SC => => CK = CB.SinKBC mà CB = => SC = 2CK = CH = HB tan = HK = = = VSABC = V A.SHC + V B.SHC = SHCS (AE + BE) = SHSC. AB (AB vuông góc (HSC)) (*) mà SHSC = Từ (*) => VSABC = a =Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc BC. Gọi A, D là điểm đối xứng của A và D qua BC; B, C là điểm đối xứngcủa B, C qua AD. Cm: V ABCD = 3 V ABCDGiải: Kẻ AE vuông góc BC ta có AD vuông BC => DE vuông góc BC Kẻ BF vuông góc AD ta có BC vuông góc AD => CF vuông góc AD Ta có BC vuông góc (ADE) => BC vuông góc EF AD vuông góc (BFC) => AD vuông góc EF => EF là đoạn vuông góc chung của AD và BC Mặt khác ADAD là hình bình hành => AD // DA Tương tự: BC // BC => EF vuông góc DA và CB (1) * EF (2) => ( AD// AD) => EF = EP * EF CB = Q (3) Tương tự ở trên => EF = FQ Từ (1) (2) (3) => PQ là đoạn vuông góc chung của AD và BC Xét tứ diện ABCD ta có AD// AD CB // BC AD vuông góc BC => AD vuông góc BC mà PQ vuông góc CB => (AQD) vuông góc CB Ta có: VABCD = VC.QDA + VB.AQD = CQ.SAQD + BQ.SAQD = CB.AD.PQ Tương tự VABCD = BC.AD.EF mà PQ = PE + EF + FQ = 3EF => V ABCD = 3 V ABCDBài 5: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đối đôi một bằng nhau và lần lượt bằng a,b,c. Tình thể tích t ứ diện.Xét hình hộp chữ nhật có các đường chéo các mặt có độ dài lần lượt là a, b, cGọi x, y, z tương ứng là các kích thước của hinh hộpTa có: VABCD = VHinhhop − (VM1 . ADC +VM 2 .BDC +VM 3 . ABC +VM 4 . ABD ) =xyz – 4/6 xyz = 1/3 xyz a 2 + b2 − c 2 x2 = 2 x2 + y2 = a2 a + c2 − b2 2 x2 + z 2 = b2 � � 2 = yLại có: � 2 � 2 + z 2 = c2 � y b + c2 − a2 2 z= 2 2 1 (a 2 + b 2 − c 2 )(a 2 + c 2 − b 2 )(b 2 + c 2 − a 2 )Suy ra: VABCD = . 3 8Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC lần lượt bằng a,b,c. . Tính thể tích hìnhchóp. AM ⊥ SB  � � � ( AMK ) ⊥ SB � ( AMK ) ⊥ ( SAB )Dựng � PSC � MK � à S ...