Phần Nguyên - Lý thuyết và bài tập

Tham khảo sách phần nguyên - lý thuyết và bài tập, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phần Nguyên - Lý thuyết và bài tập TRƯỜNG……………………… KHOA……………………Phần Nguyên - Lý thuyết và bài tập15PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010 L IT A Kt khi ư c h c v S H c, thì Ph n Nguyên là m t trong nh ng chương h pd n tôi nh t. Có l vì nh nghĩa c a nó ơn gi n, nó cơ b n như nh nghĩa v s nguyênt v y! Tuy nhiên bên trong c a s ơn gi n y là m t m nh t r t màu m , còn vô snh ng hoa thơm c l ang ch tôi cùng các b n khám phá. Qu th c, ào sâu nghiênc u v Ph n Nguyên là m t tài không t i. Không có nhi u tài li u vi t v ch này.B i vì l ó, tôi quy t nh t ng h p l i m t s k t qu thu ư c vi t lên tài li u này, hyv ng mang nb n c m t vài i u thú v . R t mong các b n óng góp và xây d ngch này ư c phát tri n và hoàn thi n hơn n a. Hoàng Xuân Thanh, 10- 2010Tài li u tham kh o: 1. Bài gi ng S H c – ng Hùng Th ng 2. 104 Number Theory Problems Titu Andresscu 3. http://diendantoanhoc.net 4. M t s website Toán h c khác25PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010VN I: - M T S TÍNH CH T CƠ B N 1. nh nghĩa:Ph n nguyên (hay sàn) (Floor Function: Nghĩa là hàm “sàn”) c a s th c x là: Snguyên l n nh t không l n hơn x.M t nh nghĩa tương t v i Floor là Ceilling (hàm “tr n”)Tr n c a s th c x là: S nguyên nh nh t không nh hơn xKhông nên nh m l n Floor và Ceiling v i hàm làm tròn Around(x), và hàm “ch t uôi”Trunc(x) mà các b n v n thư ng s d ng trong các ngôn ng l p trình.Around(x): Là s nguyên g n x nh t (ưu tiên chi u bên ph i trên tr c s )Trunc(x): Là s nguyên có ư c sau khi b i ph n th p phân c a xAround(5.5)=6; Floor(5.5)=5; Ceilling(5.5)=6; Trunc(5.5)=5Around(5.4)=5; Floor(5.4)=5; Ceilling(5.4)=6; Trunc(5.4)=5Around(-5.4)=-5; Floor(-5.4)=-6; Ceilling(-5.4)=-5; Trunc(-5.4)=-5Kí hi u ph n nguyên c a x là  x  , tr n c a x là  x . Ngoài ra ngư i ta cũng g i  { x} = x −  x  Là ph n l (fractional part) c a s th c x. 0 ≤ { x} < 1 Các b n có th tham kh o thêm v các hàm này trong websitehttp://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions nh nghĩa v ph n nguyên ư c hi u theo m t trong hai công th c sau: x − 1 <  x  ≤ x ho c  x  ≤ x <  x  + 1    2. Các tính ch t cơ b n x > y ⇒  x ≥  yi.    x + n ⇒  x + nii. | n∈Z   iii.  x  +  y  ≤  x + y  ≤  x  +  y  + 1       0 | x∈Ziv.  x  +  − x  =      −1 | x∉Z   x v.     =   x | n∈Z   n  n xvi. S các s nguyên dương là b i c a n và không vư t quá x là   n35PHAÀN NGUYEÂN – BAØI TAÄP & ÖÙNG DUÏNG Hoaøng Xuaân Thanh 10/2010Ch ng minh: Tính ch t i. và ii. Là hi n nhiên t x =  x  + { x} ; 0 ≤ { x} < 1iii.  y =  y  + { y} ; 0 ≤ { y} < 1  ta có:  x + y  =   x  +  y  + { x} + { y} =  x  +  y  + { x} + { y}            vì 0 ≤ { x} + { y} < 2 nên ta suy ra i u ph i ch ng minh t x =  x  + { x} ; 0 ≤ { x} < 1iv.  ta có  x  +  − x  =  x  +  −  x  − { x} =  − { x}        vì −1 < − { x} ≤ 0 ch b ng 0 khi x nguyên. T ó có pcm x xv. t m =   , khi ó m ≤ < m + 1 n n ⇒ mn ≤ x < ( m + 1) n ⇒ mn ≤  x  < ( m + 1) n ( mn ∈ Z )   x ⇒ m ≤   < m +1 n   x  ⇒ m =   nvi. Các s nguyên dương là b i c a n không vư t quá x là n, 2n,..., mn . Trong ó m là s th a mãn i u ki n mn ≤ x < ( m + 1) n x ⇒m≤ < m +1 n x ⇒m=  n 3. nh lý Legendre ...