PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE( chương 6)

Biến đổi Fourier là công cụ để biểu diễn tín hiệu f (t) thành dạng tổng các hàm mủdạng e jwt , với tần số bị giới hạn trên trục ảo của mặt phẳng phức (s = jw) . Theo cácchương 4 và 5 thì biểu diễn này đã đủ để phân tích và xử lý tín hiệu. Tuy nhiên, điều nàychưa đủ khi phân tích hệ thống vì: (1) Biến đổi Fourier chỉ tồn tại trong một số lớp tínhiệu, và không dùng được với các ngõ vào tăng theo dạng hàm mủ. (2) Biến đổi Fourierkhông phân tích...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE( chương 6) CHƯƠNG 6: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE Nội dung6.1 Biến đổi Laplace6.2 Đặc tính của biến đổi Laplace6.3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi-tích phân6.4 Phân tích mạng điện: sơ đồ toán tử6.5 Sơ đồ khối6.6 Thiết lập hệ thống6.7 Ứng dụng vào phản hồi và điều khiển6.8 Biến đổi Laplace hai bên6.9 Phụ chương 6.1: Thực hiện dạng chính tắc thứ hai6.10 Tóm tắtTài liệu tham khảo:B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Biến đổi Fourier là công cụ để biểu diễn tín hiệu f (t ) thành dạng tổng các hàm mủdạng e jwt , với tần số bị giới hạn trên trục ảo của mặt phẳng phức ( s = jw ) . Theo cácchương 4 và 5 thì biểu diễn này đã đủ để phân tích và xử lý tín hiệu. Tuy nhiên, điều nàychưa đủ khi phân tích hệ thống vì: (1) Biến đổi Fourier chỉ tồn tại trong một số lớp tínhiệu, và không dùng được với các ngõ vào tăng theo dạng hàm mủ. (2) Biến đổi Fourierkhông phân tích được các hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định.6.1 Biến đổi Laplace Nguyên nhân cơ bản của các khó khăn vừa nêu là do một số tín hiệu, như e -t u (t )(a > 0) không có biến đổi Fourier do các sóng sin thông thường hay hàm mủ dạng e jwt(chỉ quan tâm đến biên độ không đổi) không có khả năng tổng hợp được hàm mủ tăngtheo thời gian. Vấn đề này được giải quyết khi dùng tín hiệu cơ bản (nền) dạng e st (thaycho hàm e jwt ), khi đó tần số phức s không còn phải nằm trên trục ảo (như trường hợpbiến đổi Fourier). Điều này thể hiện qua phép biến đổi mở rộng gọi là biến đổi Laplace hai bên,với biến tần số s = jw được tổng quát thành s = s + jw . Điều này cho phép ta dùng cáchàm mủ tăng theo thời gian để tổng hợp tín hiệu f (t ) . Trước khi phát triển toán tử củaphép mở rộng, ta cần tìm hiểu trực giác về quá trình tổng quat hóa này.6.1- 1 Hiểu biết trực giác về biến đổi Laplace Tín hiệu f (t ) trong hình 6.1d không có biến đổi Fourier, ta lấy biến đổi Fourierbằng cách nhân tín hiệu với hàm mủ giảm dạng e -st . Thí dụ, lấy biến đổi Fourier tín hiệue 2tt u (t ) bằng cách nhân với hàm e -st với V > 2 . Đặt: f (t ) = f (t )e -stNhư vẽ ở hình 6.1a. Tín hiệu f (t ) có được biến đổi Fourier và các thành phần Fourier códạng e jwt với tần số w thay đổi từ w = -¥ đến ¥. Thành phần mủ e jwt và e - jwt thêm vàophổ tạo sóng sin tần số w. Phổ chứa vô hạn các sóng sin, mỗi sóng có biên độ bé. Rất dễlẫn lộn khi vẽ tất cả các dạng sóng này; do đó, hình 6.1b, chỉ vẽ hai thành phần tiêu biễu.Cộng tất cả các thành phần này (số lượng là vô hạn) cho ta lại f (t ) , vẽ ở hình 6.1a.Thành phần phổ của hàm mủ của f (t ) có dạng e jwt , với tần số phức jw nằm trên trục ảotừ w = -¥ đến ¥, vẽ ở hình 6.1c. Hình 6.1a vẽ tín hiệu f (t ) = f (t )e -st . Hình 6.1b vẽ hai trong số vô hạn các thànhphần phổ, và hình 6.2c vẽ vị trí tần số của mọi thành phần phổ của f (t ) trên mặt phẳngphức. Vậy ta tìm lại tín hiệu mong muốn f (t ) bằng cách nhân f (t ) với est . Điều nàycho phép tổng hợp f (t ) bằng cách nhân từng thành phần của nhân f (t ) với est rồi cộngtất cả lại. Nhưng khi nhân thành phần phổ của f (t ) (sóng sin trong hình 6.1b) với est tạohàm sin tăng theo dạng mủ như vẽ ở hình 6,1e. Khi cộng tất cả các thành phần sóng sintăng dạng mủ (số lượng là vô hạn) tạo lại f (t ) trong hình 6.1d. Thành phần phổ của f (t )có dạng e jwt . Khi nhân các thành phần này với est tạo ra thành phần phổ có dạngest e jwt = e j (s + jw ) . Vậy, các thành phần tần số jw trong phổ f (t ) được chuyển sangthành phần tần số s + jw trong phổ của f (t ) . Vị trí các tần số s + jw trong mặt phẳngphức nằm theo đường dọc, vẽ trong hình 6.1f. Rõ ràng là tín hiệu f (t ) có thể được tổng hợp dùng các hàm mũ tăng không dừngnằm dọc theo s + jw , với w = -¥ đến ¥. Giá trị của s rất mềm dẻo. Thí dụ, nếu f (t ) = e 2t u (t ) , thì f (t ) = f (t )e -st có biển đổi Fourier khi chọn s > 2. Từ đó, có vô sốcách chọn s . Điều này tức là phổ của f (t ) không độc nhất, với vô số khả năng tổng hợp f (t ) .Tuy nhiên, s có một số giá trị bé nhất s 0 cho từng f (t ) . [ s 0 = 2 cho trường hợp f (t ) = e 2t u (t ) ]. Vùng trong mặt phẳng phức cho s > s 0 gọi là vùng hội tụ (hay vùngtồn tại) cho biến đổi của f (t ) Các kết luận rút ra từ phương pháp thử và sai sẽ được phân tích một cách giải tíchnhư sau. Tần số jw trong biến đổi Fourier sẽ được tổng quát thành s = s + jw .6.1- 2 Phân tích biến đổi Laplace hai bên Ta đã nhất quán biến đổi Fourier và biến đổi Laplace, nên cần dùng ý niệm F ( jw )thay cho F (w ) của trường hợp biến đổi Fourier, và được định nghĩa theo: ¥ F ( jw ) = ò f (t )e - jwt dt (6.1) ...