Phân tích và sửa chữa những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài tập chương 'ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số' (giải tích 12)

Từ thực tiễn dạy học về đạo hàm trong chương 1: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số” (Giải tích 12), chúng tôi nhận thấy có một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải. Bài viết đưa ra một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài tập chương này thông qua các ví dụ cụ thể, phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm và cách khắc phục.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phân tích và sửa chữa những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài tập chương “ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số” (giải tích 12) VJE Tạp chí Giáo dục, Số 427 (Kì 1 - 4/2018), tr 23-26 PHÂN TÍCH VÀ SỬA CHỮA NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ” (GIẢI TÍCH 12) Đinh Hải Tâm - Trường Trung học phổ thông Phan Đình Phùng, Quảng Bình Nguyễn Văn Thà - Trường Trung học phổ thông Phùng Hưng, TP. Hồ Chí Minh Ngày nhận bài: 27/01/2018; ngày sửa chữa: 05/02/2018; ngày duyệt đăng: 28/02/2018. Abstract: The article analyses some key contents of teaching chapter 1, mathematics 12 “Applying derivatives to the surveying and plotting functions” (Analytics 12) and points out the common mistakes of students when solving the problems in this chapter. Also, the article shows the main causes of making these mistakes. Therefrom, authors suggest some recommendations to correct the mistakes through specific illustrations. Keywords: Students, teachers, derivatives, mistakes, corrections. 1. Mở đầu Thực tiễn dạy học cho thấy, nhiều học sinh (HS) thường giải toán theo bài mẫu mà chưa hiểu rõ vấn đề. Vì vậy, khi gặp các bài toán không giống bài mẫu hoặc dạng mẫu đã học, HS rất lúng túng. Chẳng hạn, nhiều HS khi học về khái niệm “đạo hàm” nhưng lại không hiểu ý nghĩa và ứng dụng của đạo hàm trong cuộc sống. Vì không nắm được bản chất của khái niệm nên các em không biết cách vận dụng khái niệm đạo hàm để giải các bài toán thực tiễn. Bài viết đưa ra một số dạng sai lầm thường gặp khi giải các bài toán về đạo hàm của HS lớp 12 và cách khắc phục. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Những kiến thức trọng tâm của chương 1: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số” (Giải tích 12) Chương 1: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” trong chương trình Giải tích 12, có số tiết là 20 trên tổng số 44 tiết của học kì 1, chiếm gần một nửa số tiết trong chương trình, gồm các nội dung cơ bản sau [1]: Tính đơn điệu của hàm số; tính đơn điệu và dấu của đạo hàm; quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số; tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến; khái niệm về cực trị (cực đại và cực tiểu) của hàm số; định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị; quy tắc tìm cực trị; giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; đường tiệm cận (tiệm cận ngang, tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Một số dạng bài tập cơ bản của chương 1 trong sách giáo khoa Giải tích 12: Tính đạo hàm; xét tính đơn điệu của hàm số; xác định tọa độ điểm cực trị (cực đại và cực tiểu) của hàm số; chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; khảo sát sự biến thiên và 23 vẽ đồ thị của hàm số; dựng đường tiệm cận của đồ thị hàm số; viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [2]. 2.2. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài tập chương 1: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số” (Giải tích 12) và cách khắc phục 2.2.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số Ví dụ 1 (dùng cho HS đối tượng đại trà): Xét tính đơn x2 . điệu của hàm số: y  f ( x)  x2 Một HS đã trình bày lời giải bài toán như sau: Tập xác định: D  2  (; 2)  (2; ). 4  0, x  D. Từ đó suy ra, hàm ( x  2)2 số đồng biến trên (; 2)  (2; ). Ta có: y  HS khác đã giải như sau: ta có 4 y   0, x   ; 2    2;   , nên hàm ( x  2)2 Một số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2  và  2;   . Phân tích: Hai lời giải ở trên tương tự nhau, nhưng kết luận của mỗi lời giải lại khác nhau. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Do HS không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số, không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số. Cách khắc phục: GV cần chỉ ra sai lầm trong lời giải thứ nhất và tính đúng đắn của lời giải thứ hai. GV hướng dẫn HS chọn x1  x2 nhưng có f ( x1 )  f ( x2 ) . Cụ thể: x1  3  (; 2), x2  2  (2; ); f ( x1 )  f (3)  5, f ( x2 )  f (2)  0. VJE Tạp chí Giáo dục, Số 427 (Kì 1 - 4/2018), tr 23-26 Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của hàm số đồng biến. Từ đó, GV chỉ ra cho HS: Nếu một hàm số đồng biến (nghịch biến) trên hai khoảng thì sẽ không suy ra được hàm số đó đồng biến (nghịch biến) trên hợp của các khoảng đó. Kết luận: Lời giải đúng là lời giải thứ hai. 2.2.2. Sai lầm khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 2: với 0  x   . 2 Chứng minh Lời giải sai: Xét hàm số rằng: tan x  0, Lời giải sai: Vì f ( x)  x, g ( x)  e x là các hàm đồng biến trên , nên hàm số h( x)  f ( x) g ( x) là tích của hai hàm đồng biến cũng là hàm đồng biến trên . f ( x)  tan x  x,   với x   0;  . Ta có:  2 f ( x)  1 Từ x  1 , suy ra: f ( x)  f (1) , hay x.e x   . e Phân tích: Lời giải trên của HS đã mắc sai lầm: Tích của hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến chỉ đúng khi hai hàm số đó dương. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Do HS không nắm vững các tính chất của h ...