Phép nghịch đảo trong mặt phẳng

Trong chương trình toán chuyên THPT, phép nghịch đảo là một nội dung khá quan trọng trong hình học. Phép nghịch đảo có nhiều ứng dụng trong các bài toán chứng minh hình học vàdựng hình. Tuy nhiên, các bài toán này thường hình vẽ khá phức tạp mà phần mềm hình học phẳng tốt nhất như GSP cũng chưa có gói công cụ hữu hiệu nào để tiện cho GV và HS sử dụngtrong quá trình dạy và học. Gần đây tác giả được biết bộ công cụ của Kernel về phép nghịchđảo. Hướng dẫn sử dụng gói công...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phép nghịch đảo trong mặt phẳng PHÉP NGH CH ð O TRONG M T PH NG Nguy n Kim Chi, Nguy n Thái Hùng, Tr n Lê Quang Ng c, 11T THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long E-mail: lazymonkey6992@yahoo.com.vn 1. Sơ lư c v phép ngh ch ñ o 1.1 ð nh nghĩa Cho ñi m O c ñ nh và m t s th c k ≠ 0 . ng v i m i ñi m M ≠ O ta luôn tìm ñư c ñi m M saocho OM .OM = k . M ñư c g i là ñi m ngh ch ñ o c a M trong phép ngh ch ñ o c c O v i t s k . K Kí hi u N O : M ֏ M . 1.2 M t s tính ch t c a phép ngh ch ñ o 1.2.1 Phép ngh ch ñ o có tính ch t ñ i h p, t c là n u M = N O ( M ) thì ta cũng có M = N O ( M ) . k k 1.2.2 Xét phép ngh ch ñ o N O : M ֏ M . k N u t s k > 0 thì M và M n m cùng m t phía ñ i v iO . Khi ñó t p h p nh ng ñi m b t ñ ng c a phép ngh ch ñ olà ñư ng tròn tâm O , bán kính k , ñư ng tròn này ñư c g i làñư ng tròn ngh ch ñ o, khi ñó n u ñi m M n m mi n trongc a ñư ng tròn thì M n m mi n ngoài c a ñư ng trònngh ch ñ o và ngư c l i. N u t s k < 0 thì hai ñi m M và M n m v hai phíañ i v i O . Khi ñó không có ñi m kép cũng không có ñư ngtròn ngh ch ñ o. 1.2.3 N u phép ngh ch ñ o N O : M ֏ M có t s k > 0 thì m i ñư ng tròn ñi qua hai ñi m tương ng k M và M ñ u tr c giao v i ñư ng tròn ngh ch ñ o c a phép ngh ch ñ o ñó. 1.2.4 Hai ñi m A, B không th ng hàng v i c c ngh ch ñ o O c a N O , bi n thành hai ñi m A , B qua kphép ngh ch ñ o ñó thì các ñi m A, B, A , B cùng thu c m t ñư ng tròn. k 1.2.5 N u N O : A ֏ A , B ֏ B , ta có A B = k AB . OA.OB 1.2.6 Phép ngh ch ñ o b o toàn ñ l n góc gi a hai ñư ng cong t i giao ñi m nhưng ñ o ngư c hư ngc a góc ñó. (Góc gi a hai ñư ng cong t i giao ñi m là góc gi a hai ti p tuy n c a chúng t i giao ñi m ñó,n u góc c a hai ñư ng cong b ng 900 thì hai ñư ng cong ñó g i là hai ñư ng cong tr c giao). k 1.2.7 Tích c a hai phép ngh ch ñ o N O : M ֏ M và N O : M ֏ M là m t phép v t tâm O t s k k . k 1.2.8 Qua phép ngh ch ñ o N O ñư ng th ng qua c c bi n thành chính nó, ñư ng th ng không qua c c kbi n thành ñư ng tròn qua c c1. 1.2.9 Qua phép ngh ch ñ o N O , ñư ng tròn qua c c bi n thành ñư ng th ng không qua c c, ñư ng tròn kkhông qua c c bi n thành ñư ng tròn không qua c c. 1 k k Cách d ng. Xét nh c a ñư ng th ng d qua N O , d không qua O , k OH vuông góc v i d , N O : H ֏ H , nh c a d là ñư ng tròn ñư ng kính OH . 1 2. M t s ng d ng c a phép ngh ch ñ o Bài toán 1. Trong m t ph ng, cho tam giác ABC n i ti p ñư ng tròn (O ) . Gi s M là m t ñi mkhông thu c (O ) , các ñư ng th ng MA, MB c t l i ñư ng tròn (O ) l n lư t t i các ñi m A , B , C . a) Ch ng minh r ng v i M trong (O ) ta có S A B C MA .MB .MC = . S ABC MA.MB.MC b) Tìm t p h p các ñi m M sao cho tam giác A B C vuông. L i gi i. AB.BC.CA A B .B C .C A a) Ta có: S ABC = , và S A B C = . 4R 4R S A B C A B .B C .C A Do ñó = . (1) S ABC AB.BC.CA k Vì MA.MA = MB.MB = k (không ñ i) nên ta xét N M : (O) → (O) , A ֏ A , B ֏ B , C ֏ C . Theo tính ch t c a phép ngh ch ñ o ta có k AB ...