Phương pháp chuyển vị trong chứng minh bất đẳng thức hoán vị

Hiện nay có rất nhiều phương pháp mạnh và mới để chứng minh bất đẳng thức như là EV của Vasile Cirlavje, SOS cảu Phạm Kim Hùng và Trần Tuấn Anh...Nhưng các phương pháp này phần lớn chỉ dùng để giải quyết các bài toán đối xứng khi gặp cá bất đẳng thức hoán vị thì chứng thường tỏ ra kém hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp chuyển vị trong chứng minh bất đẳng thức hoán vị 1PHƯƠNG PHÁP CHUY N V TRONG CH NG MINH B T Đ NG TH C HOÁN V VÕ QU BÁ C C NHi n nay có r t nhi u phương pháp m nh và m i đ ch ng minh b t đ ng th c như làEV c a Vasile Cirtoaje, SOS c a Ph m Kim Hùng và Tr n Tu n Anh, . . . Nhưng các phươngpháp này ph n l n ch dùng đ gi i quy t các bài toán đ i x ng, khi g p các b t đ ngth c hoán v thì chúng thư ng t ra kém hi u qu . V y chúng ta có cách nào đ gi i quy tcác b t đ ng th c hoán v không? Bài vi t này, chúng tôi xin đư c chia s cùng các b nm t kinh nghi m nh đ ch ng minh b t đ ng th c hoán v 3 bi n (và đôi khi ta cũng cóth áp d ng nó cho b t đ ng th c hoán v 4 bi n). R t mong nh n đư c ý ki n đóng gópc a các b n!Như đã nói trên, các phương pháp ch ng minh b t đ ng th c đ i x ng thì r t nhi unên n u ta có th chuy n m t b t đ ng th c hoán v v d ng đ i x ng thì vi c ch ngminh không còn gì khó khăn c . Đó chính là kinh nghi m nh mà chúng tôi mu n gi ithi u cùng b n đ c, m t k thu t giúp ta chuy n m t b t đ ng th c hoán v thành m tb t đ ng th c đ i x ng đ gi i, ta t m g i đó là phương pháp chuy n v .Đ hi u rõ hơn ý tư ng c a nó, chúng ta hãy cùng xét ví d sauExample 0.1 Cho các s th c không âm a, b, c th a mãn a + b + c = 4. Ch ng minh r ng a2 b + b2 c + c2 a + abc 4. (Vasile Cirtoaje, Ph m Kim Hùng)L i gi i. B t đ ng th c c n ch ng minh có d ng a ab + b bc + c c a + abc 4.Ta th y r ng đây là m t b t đ ng th c hoán v v i đ ng th c x y ra t i a = b = c = 1và a = 2, b = 1, c = 0 (v i gi thi t c = minf a, b, cg). Đi u này ch ng t r ng vi c đánhgiá nó là không d dàng chút nào, ch c n m t chút quá đà thì cũng có th đưa đ n k tqu không mong mu n. M t cách t nhiên, ta nghĩ ngay đ n vi c chuy n nó v d ng đ ix ng đ gi i. Thông thư ng, m i ngư i thư ng nghĩ đ n vi c chuy n v đ i x ng cho babi n, nhưng vi c này r t khó th c hi n (vì b t đ ng th c này có đ n hai đi m đ ng th c),cho nên ta hãy nghĩ đ n vi c đưa v đ i x ng cho hai bi n (mà không ph i ba). Mu n làm2đi u này, các b n hãy cùng đ ý đ n hai bi u th c đư c g ch chân trên, chúng có đi ugì kì l ? À, n u ta hoán đ i v trí cho nhau thì ta có th thu đư c m t b t đ ng th c m i là a ab + b c a + c bc + abc 4.Và th t thú v , đây l i là m t b t đ ng th c đ i x ng cho hai bi n a và c. Vì v y, n u tacó m t đánh giá ki u như a ab + b bc + c c a + abc a ab + b c a + c bc + abc thì đólà m t đi u tuy t v i! May m n thay, đi u này tương đương v i c( a b)(b c) 0 vàchúng ta hoàn toàn có th đ t đư c đi u này b ng cách gi s b là s h ng n m gi a a vàc. Đ n đây, ta tìm đư c l i gi i cho bài toán như sau:Không m t tính t ng quát, gi s b là s h ng n m gi a a và c. Khi đó, ta có a ab + b bc + c c a + abc a ab + b c a + c bc + abc 3 1 2b + a + c + a + c = b ( a + c )2 = 4. 2 3Bài toán đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1 vàa = 2, b = 1, c = 0 (cùng các hoán v tương ng).Đây là m t ví d quen thu c, và có l nhi u b n s cho r ng nó quá quen thu c, hi nnhiên. Và n u b n, nào tinh ý thì s th y r ng vi c đánh giá a ab + b bc + c c a + abca ab + b c a + c bc + abc trên th c ra chính là vi c s d ng b t đ ng th c s p x p l icho hai b s đơn đi u cùng chi u ( a, b, c) và ( ab, ca, bc) (v i gi thi t b là s h ng n mgi a). Tuy nhiên, chúng tôi đ n v i ý tư ng chuy n v này hoàn toàn đ c l p v i b t đ ngth c s p x p l i. Chúng ta hãy cùng đi đ n ví d sau đ th y rõ đư c đi u đóExample 0.2 Cho các s không âm x, y, z có t ng b ng 1. Ch ng minh b t đ ng th c sau q q p x + y2 + y + z2 + z + x2 2. (Phan Thành Nam)Rõ ràng v i bài toán này, vi c s d ng b t đ ng th c s p x p l i là r t khó (có th nói làkhông th ), nhưng vi c s d ng phép chuy n v như trên thì ta v n có th áp d ng đư c.Và m t đi u thú v n a là, v i nh ng cách phân tích khác nhau thì chúng ta l i có nh ngphép chuy n v khác nhau, giúp đưa bài toán đi đ n k t qu . Ch ng h n, ví d này,chúng ta có hai cách chuy n v sauL i gi i 1. B t đ ng th c này có d ng đ ng b c ( v trái) là q q q x2 + y2 + xy + xz + y2 ...