Phương pháp phân tích giá trị đơn rút gọn và ứng dụng trong nén ảnh

Bài viết "Phương pháp phân tích giá trị đơn rút gọn và ứng dụng trong nén ảnh" trình bày lại phương pháp phân tích giá trị đơn (singular value decomposition- viết tắt SVD) và phương pháp phân tích giá trị đơn rút gọn (truncated SVD) và ứng dụng trong nén ảnh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp phân tích giá trị đơn rút gọn và ứng dụng trong nén ảnh PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GIÁ TRỊ ĐƠN RÚT GỌN VÀ ỨNG DỤNG TRONG NÉN ẢNH Bùi Nguyễn Nhật Minh1, Nguyễn Thị Kim Ngân2 1. Lớp K212BV.TOAN01, Trường Đại học Thủ Dầu Một 2. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu MộtTÓM TẮT Bài viết trình bày lại phương pháp phân tích giá trị đơn (singular value decomposition- viết tắtSVD) và phương pháp phân tích giá trị đơn rút gọn (truncated SVD) và ứng dụng trong nén ảnh. Từ khóa: nén ảnh, SVD, truncated SVD.1. GIỚI THIỆU Việc tìm hiểu và vận dụng kiến thức Toán học trong thực tiễn rất hữu ích với sinh viên ngànhToán. Nó không những giúp sinh viên có động lực học môn Toán hơn mà quan trọng giúp sinh viênbiết vận dụng kiến thức, kĩ năng đã học trong chương trình để áp dụng công việc thực tế khi làm trongcác cơ quan, công ty hay ở các cơ sở giáo dục. Môn Đại số tuyến tính được giảng dạy ở năm nhất chương trình cử nhân Toán, cũng như cácchương trình khối ngành kĩ thuật và kinh tế. Ứng dụng của môn học này rất nhiều trong các ngành,nhất là lĩnh vực công nghệ thông tin, khi máy tính nhận dữ liệu dưới dạng ma trận, vectơ. Vì vậy,chúng tôi chọn nghiên cứu phương pháp phân tích giá trị đơn (singular value decomposition- viết tắtSVD) và phương pháp phân tích giá trị đơn rút gọn (truncated SVD) và ứng dụng trong nén ảnh đểlàm báo cáo tốt nghiệp. Kiến thức tập trung phần Đại số tuyến tính và sử dụng phần mềm Matlab đãhọc trong chương trình để xử lí nén ảnh. Bài viết này trình bày ngắn gọn nội dung của báo cáo tốt nghiệp gồm lí thuyết về phương phápphân tích giá trị đơn và phương pháp phân tích giá trị đơn rút gọn và phần ứng dụng sẽ sử dụngphương pháp này để nén ảnh trong Matlab.2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GIÁ TRỊ ĐƠN VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GIÁ TRỊĐƠN RÚT GỌN Nội dung này chúng tôi tham khảo tài liệu (D. Lay và nnk, 2016; Nguyễn Tiến Dũng, 2018) 2.1. Các giá trị đơn của một ma trận Cho ? là một ma trận cấp ? × ?. Khi đó ? ? ? đối xứng và và do đó có thể chéo hóa trực giaođược (xem (Lay và nnk.,2016, Định lý 2, trang 398)). Gọi {?1 , . . . , ? ? } là một cơ sở trực chuẩn của ℝ ? bao gồm các vectơ riêng của ? ? ?, và ?1 , . . . , ? ? là các giá trị riêng tương ứng của ? ? ?. Khi đó, với 1 ≤ ? ≤ ?, ∥ ?? ? ∥2 = (?? ? ) ? ?? ? = ? ? ? ? ? ?? ? = ? ? ? ? ? ? ? = ? ? . Do đó các giá trị riêng của ? ? ? là không âm. Ta có thể sắp xếp các giá trị riêng của ? ? ? nhưsau ?1 ≥ ?2 ≥. . . ≥ ? ? ≥ 0. Các giá trị đơn của ? là căn bậc hai các giá trị riêng của ? ? ?, kí hiệu bởi ?1 , . . . , ? ? , và sắp xếptheo thứ tự giảm dần 250 ? ? = √? ? , 1 ≤ ? ≤ ?. 2.2 Phương pháp phân tích giá trị đơn Định lý (xem (Lay và nnk.,2016, Định lý 10, trang 419)) Cho ? là một ma trận cấp ? × ?, có hạng ?. Khi đó tồn tại ma trận Σ (xem (Lay vànnk.,2016,(3), trang 419)) có dạng (Nguồn hình tham khảo tài liệu (Lay và nnk.,2016,(3), trang 419)) Ở đây, các phần tử nằm trên đường chéo của ma trân chéo ? là r giá trị đơn của ?, ?1 ≥. . . ≥ ? ? > 0, và tồn tại các ma trận trực giao ? cấp ? × ?, ma trận trực giao ? cấp ? × ?, (nghĩa là ?, ? là các ma trận vuông khả nghich và ? −1 = ? ? , ? −1 = ? ? xem (Lay và nnk.,2016, trang 346)sao cho ? ?×? = ? ?×? Σ ?×? (? ?×? ) ? . (1) Chứng minh. Giả sử {?1 , . . . , ? ? } là một cơ sở trực chuẩn của ℝ ? gồm các vectơ riêng của ? ? ?,tương ứng với các giá trị riêng ?1 ≥ ?2 ≥. . . ≥ ? ? > 0 của ? ? ?. Khi đó, {??1 , . . . , ?? ? } là một cơ sởtrực giao của không gian các vectơ cột của ma trận ? (xem (Lay và nnk.,2016, Định lý 9, trang 418)). Chuẩn tắc hóa ?? ? , ta được một cơ sở trực chuẩn {?1 , . . . , ? ? }, với 1 1 ?? = ?? ? = ?? ? ∥ ?? ? ∥ ?? ?à ?? ? = ? ? ? ? , (1 ≤ ? ≤ ?) Mở rộng {?1 , . . . , ? ? } thành một cơ sở trực chuẩn {?1 , . . . , ? ? } của ℝ ? và đặt ? = [?1 ?2 . . . ? ? ] ?à ? = [?1 ?2 . . . ? ? ] Theo cách xây dựng trên, ?, ? là các ma trận trực giao và ?? = [??1 . . . ?? ? 0 . . . 0] = [?1 ?1 . . . ?2 ? ? 0 . . . 0] Gọi ? là ma trận chéo với các phần tử nằm trên đường chéo là ?1 , . . . , ? ? và ma trận Σ nhưtrong phát biểu định lý. Khi đó (Phép tính trích từ (Lay và nnk.,2016, Định lý 10, trang 419)) Vì ? là ...