Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức nhằm giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức Sö dông ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hμm sè trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc Lª Phi Hïng Tr−êng THPT N¨ng KhiÕu Hµ TÜnh Trong c¸c ®Ò thi häc sinh giái cña ViÖt Nam còng nh− nhiÒu n−íc kh¸c chóngta gÆp rÊt nhiÒu c¸c bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc (B§T) cã d¹ng nh− sau: Cho sè n ∈ N* vµ c¸c sè a1, a2… an ∈ D tho¶ m·n a1 + a2 + … + an = nα, víiα ∈ D. Chøng minh r»ng f(a1) + f(a2) + … + f(an) ≥ nf(α) (hay hoµn toµn t−¬ng tù lµf(a1) + f(a2) +… + f(an) ≤ nf(α)), ®¼ng thøc x¶y ra khi a1 = a2 = … = an = α. D¹ng to¸n nµy cã tÝnh chÊt næi bËt: vÕ tr¸i lµ biÓu thøc ®èi xøng ®èi víi c¸c biÕna1, a2,…, an nªn th−êng cã nhiÒu c¸ch gi¶i. Tuy nhiªn viÖc t×m ra mét ph−¬ng ph¸pchung ®Ó cã thÓ gi¶i ®−îc hµng lo¹t bµi to¸n nh− thÕ th× hoµn toµn kh«ng ®¬n gi¶n. Trong ph−¬ng ph¸p cña bµi viÕt nµy chóng ta sÏ vËn dông gi¶ thiÕt a1 + a2 + … +an = nα mét c¸ch linh ho¹t, ®ã lµ ta sÏ t×m c¸c h»ng sè A, B thÝch hîp ®Ó cã ®¸nh gi¸f(x) ≥ Ax + B víi mäi x ∈ D, ®¼ng thøc x¶y ra khi x = α. §èi víi nhiÒu bµi to¸n, biÓuthøc y = Ax + B ®−îc chän ë ®©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sèy = f(x) t¹i x = α. Mét kiÕn thøc c¬ b¶n xin ®−îc nh¾c l¹i ë ®©y: ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞhµm sè y = f(x) t¹i x = α lµ : y = f’(α)(x − α) + f(α) . Nh×n qua ph−¬ng ph¸p nµy chóng ta sÏ thÊy nã “t−¬ng tù” víi ph−¬ng ph¸p södông B§T Jensen - cßn gäi lµ B§T hµm låi. ThËt sù ë ®©y ph−¬ng ph¸p nµy sÏ “tèt”h¬n. NÕu sö dông B§T Jensen ®−îc th× ph−¬ng ph¸p nµy còng sö dông ®−îc nh−ng®iÒu ng−îc l¹i th× cã thÓ kh«ng x¶y ra. y Ta cã sù minh ho¹ b»ng ®å thÞ: y = f(x) Hµm sè y = f(x) kh«ng låi trªn miÒnD = [p, q] nh−ng cã ®å thÞ vÉn “n»m trªn” tiÕptuyÕn y = Ax + B cña nã t¹i x = α ∈ D. Trongbµi to¸n nµy kh«ng thÓ ¸p dông B§T hµm låi®−îc nh÷ng vÉn cã thÓ dïng “ph−¬ng ph¸p tiÕp y = Ax + B OtuyÕn” ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n. p α q x Sau ®©y chóng t«i xin tr×nh bµy øng dông cña ph−¬ng ph¸p ®Ó gi¶i quyÕt mét sè bµi to¸n ®−îc trÝch dÉn tõ mét sè ®Ò thiOlympic cña n−íc ta vµ c¸c n−íc trªn thÕ giíi. Trong mét sè bµi to¸n cã thÓ chóng taph¶i sö dông linh ho¹t c¸c gi¶ thiÕt vµ tÝnh chÊt cña c¸c biÓu thøc trong bµi to¸n ®Ó vËndông ph−¬ng ph¸p mét c¸ch hiÖu qu¶ nhÊt. 1Bµi to¸n 1. (Hång K«ng, 2005). Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c, d tho¶ m·n a + b + c + d = 1.Chøng minh r»ng 1 6(a 3 + b 3 + c 3 + d 3 ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + (1.1) 8Lêi gi¶i Tõ gi¶ thiÕt ta cã a, b, c, d ∈ (0, 1) vµ B§T t−¬ng ®−¬ng víi 1 f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≥ (1.2) 8trong ®ã f(x) = 6x3 – x2. 1 XÐt f(x) trªn (0, 1). TiÕp tuyÕn cña ®å thÞ y = f(x) t¹i x = cã ph−¬ng tr×nh 4 5 1 5 1 5 1 1y= x - . MÆt kh¸c f(x) – ( x - ) = 6x3 – x2 – ( x - ) = (4x – 1)2(3x + 1) ≥ 0 8 8 8 8 8 8 8 5 1víi mäi x ∈ (0, 1) hay f(x) ≥ x - víi mäi x ∈ (0, 1). Tõ ®ã suy ra 8 8 5 1 1 f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≥ .(a + b + c + d) – 4. = . 8 8 8 1 VËy B§T ®−îc chøng minh. §¼ng thøc x¶y ra ⇔ a = b = c = d = . 4Bµi to¸n 2. (Mü, 2003). Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c. Chøng minh r»ng (2a + b + c ) 2 (2b + c + a ) 2 (2c + a + b ) 2 + 2 + 2 ≤8 (2.1) 2a 2 + (b + c ) 2 2b + (c + a ) 2 2c + (a + b ) 2Lêi gi¶i Do tÝnh ®¼ng cÊp cña c¸c sè h¹ng ë VT nªn ta cã thÓ ®−a vÒ xÐt víi a + b + c = 3. (a + 3) 2 a 2 + 6a ...