Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa 2 biến

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện f ( X;y) = 0.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất( nếu có) của biểu thức P= G( x: y).Phương pháp giaỉ chung: gọi T là tập giá trị của P, khi đó thuộc T và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm F( x: y)=0, G( x:y) = m . Sau đó tìm các giá trị của M để hệ (1) có nghiệm ( thường là đưa về có điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc 2)
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa 2 biến www.laisac.page.tl PH ƠN PH PT MG ÁT ỊL NN ẤT GI TR NH NH TC A P ƯƠ GP ÁPTÌ GI TR LỚ NH T, IÁ RỊ HỎ HẤ CỦ HƯ NG HÁ ÌM IÁ RỊ ỚN HẤ ,G ÁT ỊN ỎN ẤT ỦA BI UT ỨCCH AH IB ẾN B ỂUTH CC ỨAHA BI N. IỂ HỨ HỨ AI IẾ . NguyễnTrungNghĩaI- S D NG T P GIÁ TR : • Bài toán: Cho các s th c x, y th a mãn i u ki n F ( x; y ) = 0 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t (n u có) c a bi u th c P = G ( x; y ) . • Phương pháp gi i chung: G i T là t p giá tr c a P, khi ó m ∈ T khi và ch khi h phương trình sau có nghi m:  F ( x; y ) = 0   (1) G ( x; y ) = m   • Sau ó tìm các giá tr c a m h (1) có nghi m (thư ng là ưa v i u ki n có nghi m c a m t phương trình b c hai) r i suy ra t p giá tr T c a P, t ó suy ra giá tr l n nh t và giá tr nh nh t (n u có) c a bi u th c P = G ( x; y ) . • M t s ví d minh h a:V í d 1: ( thi i h c d b kh i A năm 2006) i và th a mãn x 2 + xy + y2 ≤ 3 . Ch ng minh r ng: Cho hai s th c x, y thay −4 3 − 3 ≤ x 2 − xy − 3 y 2 ≤ 4 3 − 3Gi i: t A = x 2 + xy + y 2 và B = x 2 − xy − 3y 2 .G i T là t p giá tr c a B, khi ó m ∈ T khi và ch khi h sau có nghi m:  x 2 + xy + y 2 ≤ 3  2 (1)  x − xy − 3 y = m 2  • N u y = 0 thì A = x 2 ≤ 3 , lúc ó −4 3 − 3 < 0 ≤ m = x 2 ≤ 3 < 4 3 − 3 ( pcm). 2 y  3 y2  2 2 • N u y ≠ 0 thì t x = ty , khi ó A = x + xy + y =  x +  + > 0 nên:  2 4m x 2 − xy − 3y 2 t 2 − t − 3 = =2 .A x 2 + xy + y 2 t + t +1 t2 − t − 3 ⇔ ( a − 1) t 2 + ( a + 1) t + a + 3 = 0 (2) . t a= 2 t + t +1 2H (1) có nghi m ⇔ Phương trình (2) có nghi m ⇔ ∆ = ( a + 1) − 4 ( a − 1)( a + 3) ≥ 0 −4 3 − 3 4 3 −3 ⇔ ≤a≤ . 3 3 −4 3 − 3 m 4 3 − 3 ≤≤ , m t khác 0 < A ≤ 3 nên −4 3 − 3 ≤ m ≤ 4 3 − 3 .Do ó: 3 3 AV y t p giá tr c a P là T =  −4 3 − 3 ; 4 3 − 3 nên suy ra pcm.  V í d 2: ( thi h c sinh gi i qu c gia năm 2005) i và th a mãn h th c x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y . Tìm giá tr Cho hai s th c x, y thay l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c K = x + y .Gi i: KX : x ≥ −1 và y ≥ −2 .G i T là t p giá tr c a K. Ta có m ∈ T khi và ch khi h phương trình sau có nghi m:  x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y  (1) x + y = m  t u = x + 1 và v = y + 2 thì u ≥ 0, v ≥ 0 và h (1) tr thành:  m u + v = 33 ( u + v ) = m 2 2 ⇔ ⇔ u, v là hai nghi m c a phương trình: u + v = m + 3 uv = 1  m − m − 3   2  2 9      1  m2  m t2 − t +  − m − 3  = 0 ⇔ 18t 2 − 6 mt + m 2 − 9m − 27 = 0 (2). 2 9  3  Do ó h (1) có nghi m (x , y) sao cho x ≥ −1 và y ≥ −2 khi và ch khi phương trình (2) có hainghi m không âm và i u ki n là: ( ) 2 ∆ = −9 m − 18m − 54 ≥ 0 9 + 3 21 mS = ≥ 0 ⇔ ≤ m ≤ 9 + 3 15 . 3 2 m 2 − 9m − 27P = ≥0 18  9 + 3 21 Do ó T =  ;9 + 3 15  . 2   9 + 3 21 và giá tr l n nh t c a K là 9 + 3 15 .V y giá tr nh nh t c a K là 2II- S D NG B T NG TH C: • Phương pháp chung: M u ch t c a phương pháp b t ng th c là ph i d oán ư c bi u th c s t giá tr l n nh t , giá tr nh nh t t i nh ng giá tr nào c a bi n s t ó có nh ng cách phân tích, ánh giá thích h p. • M t s b t ng th c c n nh : x+y B T Cô-si: ≥ xy (v i x ≥ 0; y ≥ 0 ) 2 ng th c x y ra khi và ch khi x = y . ...