Phương trình hàm trên N (24 trang)

Tài liệu "Phương trình hàm trên N" trình bày các nội dung chính sau đây: Các phương pháp giải phương trình hàm; bất đẳng thức và thứ tự trên N trong phương trình hàm; phương trình hàm sử dụng tính chất số học; số nguyên tố và hàm nhân tính; cấp số cộng, cấp số nhân trong phương trình hàm;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình hàm trên N (24 trang) Ph−¬ng tr×nh h m trªn N“Toán h c không ph i là m t quy n sách ch gói g n gi a các t bìa mà ngư i ta ch c nkiên nh n ñ c h t n i dung, toán h c cũng không ph i là m t vùng m quý mà ng i ta chc n có th i gian ñ khai thác; toán h c cũng không ph i là m t cánh ñ ng s b b c màuvì nh ng v thu ho ch; toán h c cũng không ph i là l c ñ a hay ñ i dương mà ta có thv chúng l i ñư c. Toán h c không có nh ng gi i h n như không gian mà trong ñó nóc m th y quá ch t ch i cho nh ng khát v ng c a nó; kh năng c a toán h c là vô h n nhưb u tr i ñ y các vì sao; ta không th gi i h n toán h c trong nh ng quy t c hay ñ nhnghĩa vì nó cũng gi ng như cu c s ng luôn luôn ti n hóa”.Sylvester 1I. LÝ thuyÕt1. ¸nh x¹A) §Þnh nghÜaCho hai tËp hîp kh¸c rçng X v Y. NÕu víi mét phÇn tö x bÊt k× thuéc X quy t¾c fcho ta x¸c ®Þnh duy nhÊt mét phÇn tö y thuéc Y th× ta gäi f l mét ¸nh x¹ ®i tõ Xv o Y. KÝ hiÖu f : X → Y . X l tËp x¸c ®Þnh ; Y l tËp gi¸ trÞ.B) §¬n ¸nh, to n ¸nh, song ¸nha) §¬n ¸nh¸nh x¹ f : X → Y ®−îc gäi l ®¬n ¸nh nÕu nh− víi mäi x1, x2 ∈ X v x1 ≠ x2 th×f(x1) ≠ f(x2).Chó ý : muèn CM f l ®¬n ¸nh th× ta gi¶ sö f(a) = f(b) tõ ®ã ta suy ra a = b.ViÖc CM l f l ®¬n ¸nh l mét c«ng cô rÊt tèt trong viÖc gi¶i ph−¬ng tr×nh h m.b) To n ¸nh¸nh x¹ f : X → Y ®−îc gäi l to n ¸nh nÕu nh− víi mäi phÇn tö y ∈ Y ®Òu tånt¹i phÇn tö x ∈ X tháa m n f(x) = y.c) Song ¸nh¸nh x¹ f : X → Y ®−îc gäi l song ¸nh nÕu nh− nã võa l ®¬n ¸nh võa l to n¸nh.2. H m sèA) §Þnh nghÜaCho X, Y ∈ R. Mét ¸nh x¹ f : X → Y ®−îc gäi l mét h m sè tõ tËp X ®Õn tËpY kÝ hiÖu l f : X → Y hay y = f(x).3. CÊp sè céng, cÊp sè nh©nTrong mét sè tr−êng hîp h m sè cã thÓ coi l mét d y sè khi gi¶i ph−¬ng tr×nh h mtrªn N th× viÖc ¸p dông trùc tiÕp cÊp céng v cÊp sè nh©n khiÕn lêi gi¶i trë lªn ng¾ngän.A) CÊp sè céngCho d y an : an = an −1 + d (d l h»ng sè) n ≥ 2 gäi l mét cÊp sè céng c«ng sai d. ak −1 + ak +1TÝnh chÊt: ak = víi mäi k ∈ [2; n – 1]. 2C«ng thøc tÝnh sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè céng a n = a1 + ( n − 1) d .B)CÊp sã nh©nCho d y an : a n = a n −1 q (q # 0, n ≥ 2) gäi l cÊp sè céng c«ng béi l q.C«ng thøc tÝnh sè h¹ng tæng qu¸t a n = a 1 q n − 1 . 2II. C¸c ph−¬ng ph¸p gi¶iMét sè l−u ý khi gi¶i ph−¬ng tr×nh h m ♦ Sö dông c¸c phÐp thÕ cã thÓ ®Ó ®¬n gi¶n ph−¬ng tr×nh h m. ♦ Nªn sö dông tÝch chÊt ®¬n ¸nh nÕu cã cña h m sè. ♦ Thay cã gi¸ trÞ ®Æc biÖt c¸c ®iÓm cùc biªn ( nguyªn lý cùc h¹n ) t×m ra c¸c®iÓm bÊt ®éng. ♦ Nguyªn lý quy n¹p l mét c«ng cô hiÖu qu¶ trong qu¸ tr×nh gi¶i ph−¬ngtr×nh h m tuy nhiªn chóng ta ph¶i lùa chän ®óng “®iÓm r¬i”.Tr−íc khi tr×nh b y ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh h m ta xÐt mét b i to¸n cæ sauVespasien l Ho ng ®Õ La M thÕ kØ thø nhÊt tõ n¨m 69 ®Õn n¨m 79 theo d−¬nglÞch. ThêiÊy cã Josephus l nh viÕt sö bÞ Vespasien truy n v× can téi chèng l¹itriÒu ®×nh. Tôc truyÒn r»ng Vespasein t×m ®−îc ham Èn n¸u cña 100 ng−êi chèng®èi v kª gäi hä ra h ng, nÕu kh«ng sÏ t n s¸t tÊt c¶. §a sè muèn tù s¸t, quyÕtkh«ng ®Çu h ng, chØ cã mét ng−êi nãi nhá víi Josephus l v× ho n c¶ng riªng muèn®Çu h ng ®Ó sèng. Josephus rÊt th«ng c¶m víi ng−êi n y v ®Æt ra quy t¾c sau,®−îc tÊt c¶ mäi ng−êi nhÊt chÝ thi h nh : 100 ng−êi ®øng th nh vßng trßn ®¸nh sètõ 1 ®Õn 100 theo chiÒu kim ®ång hå. Ng−êi thø nhÊt cÇm dao ®Õm 1 råi ®−a chong−êi thø 2, ng−êi thø 2 ®Õm 2 råi tù s¸t. Ng−êi thø 3 cÇm dao v l¹i ®Õm 1, råi®−a dao cho ng−êi thø 4, ng−ëi thø 4 ®Õm 2 råi tù s¸t … Cø nh− thÕ m tiÕp tôcvßng n y qua vßng kh¸c. Cuèi cïng cßn mét ng−êi sèng. Hái Josephus ph¶i s¾pxÕp ng−êi muèn sèng ë vÞ trÝ n o ?B i to¸n JosephusGi¶ sö Josephus cã n – 1 b¹n ; n ng−êi n y ®óng th nh vßng trßn ®¸nh sè tõ 1 ®Õnn theo chiªu kim ®ång hå v tù s¸t theo quy t¾c nh− trªn. Gäi f(n) l vÞ trÝ cñang−êi sèng sãt duy nhÊt. T×m f(n).Albert Einstein ® nãi “Ph−¬ng tr×nh quan träng h¬n chÝnh trÞ, v× chÝnh trÞ chohiÖn ®¹i cßn ph−¬ng tr×nh cho vÜnh cöu” Trªn con ®−êng ph¸t triÓn cña ph−¬ngtr×nh th× ph−¬ng tr×nh h m ra ®êi v tõ khi ph¸t triÓn ®Õn giê ph−¬ng tr×nh h mlu«n l mét lÜnh v−îc khã v th−êng xuyªn xuÊt hiÖn trong c¸c cuéc thi häc sinhgiái tØnh, quèc gia v quèc tÕ trong c¸c b i to¸n ph−¬ng tr×nh h m th× Èn kh«ngph¶i l mét ®¹i l−îng x¸c ®Þnh m l mét h m sè. Gièng nh− b i to¸n cña Josephusnã l mét b i ph−¬ng tr×nh h m theo t«i l cæ nhÊt nã l mét b i to¸n rÊt hay b¹nhay thö gi¶i nã xem nh− b i më ®Çu V¹n sù khëi ®Çu nan.1. BÊt ®¼ng thøc v thø tù trªn N trong ph−¬ng tr×nh h mA) LÝ thuyÕtThø tù s¾p xÕp trªn N cã tÝnh chÊt rÊt ®¬n gi¶n nh−ng mang ®Æc tr−ng cña sè tùnhiªn còng nh− sè nguyªn l k < f(x) < k + 2 ta lu«n cã f(x) = k + 1 (k l mét sènguyªn). Víi viÖc kÕt hîp tÝnh chÊt trªn víi sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi bÊt ®¼ngth ...