PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N

Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài toán giải phương trình hàm ,trong đó có một số không nhỏ các bài qui về xác định tính cộng,nhân của hàm số. Chuyên đề này kai thác các tính chất của hàm cộng tính, nhân tính để giải các phương trình hàm trong các kì thi HSG trong nước và nước ngoài
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N (FUNCTION EQUATION) Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài toán giải phương trình hàm ,trong đó có một sốkhông nhỏ các bài qui về xác định tính cộng,nhân của hàm số. Chuyên đề này kai thác các tínhchất của hàm cộng tính, nhân tính để giải các PTH trong các kì thi HSG trong nước và nướcngoài BT1 : Cho hàm f : R → R thoả mãn f(x + y) = f(x) + f(y) với ∀ x, y ∈ R (f được gọi là hàm cộngtính trên R) và không phải là hàm hằng .Chứng minh các mệnh đề sau tương đương a) f(x) liên tục tại x0 b) f (x) = ax ( a ≠ 0) c) f đơn điệu trên (c; d) d) f giới nội trên (c; d) Giải: a) ⇒ b) Ta chứng minh f liên tục trên R .Với x1 bất kì ,lấy dãy (xn) hội tụ tới x1 Cho n → +∞ : xn - x1 + x0 → x0 , do f liên tục tại x0 nên lim f(xn - x1 + x0) = lim [f(xn) - f(x1) + f(x0)] n→ + ∞ n→ + ∞ lim = n→+ ∞ f(xn) - f(x1) + f(x0) = f(x0) lim ⇒n→+ ∞ f(xn) = f(x1) Vậy f liên tục trên RVì f cộng tính trên R nên f(x) = ax (1) với ∀ x ∈ Q, a ∈ R* (Bạn đọc hãy chứng minh TC nầy)Với x bất kì, lấy dãy (yn) ⊂ Q hội tụ tới x.Ta có: lim f(yn) = lim (ayn) = ax (theo (1)) n→ + ∞ n→ + ∞ lim f(yn) = f(x) (do f liên tục trên R) n→ + ∞ ⇒f(x) = ax b) ⇒ c) và c) ⇒ d) là đương nhiên.Ta chứng minh d) ⇒ a) Ta chỉ cần CM cho c > 0 Ta có m < f(x) < M ⇒ m < f( x ) < M (n ∈ N* , x ∈ (c; d) ) n n m m M x Cho n → +∞ : → 0, → 0, y = → 0+ n m n ⇒ lim f(y) = 0 = f(0) ⇒ f liên tục bên phải tại 0 y→0+ Do f làhàm lẽ (Bạn đọc hãy chứng minh TC nầy) ⇒ f liên tục bên trái tại 0 ⇒ f liên tục tại tại x = 0 . Chứng minh tương tự như a ta có f liên tục trên R Nếu f là hàm hằng ta dễ dàng CM được f(x) ≡ 0 BT2 : Tìm hàm f : R → R thoả mãn f(xy) = f(x)f(y) với ∀ x, y ∈ R (f được gọi là hàm nhân tínhtrên R ) và liên tục tại x0 > 0 HD : Ta có : f(0) = 0 hoặc f(0) = 1; f(1) = 0 hoặc f(1) = 1 a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nhận) b) f(1) = f(0) = 1 f(x) = f(x).f(1) = f(x)f(0) = f(0) ≡ 1 (nhận) c) f(0) = 0 và f(1) = 1 1 x ≠ 0: f(x)f( ) = f(1) = 1 x ⇒ f(x) ≠ 0 x > 0 : f(x) = [f( x )]2 > 0 Xét hàm g :R→ R : g(x) = ln[f(ex)]⇒ g là hàm cộng tính trên R f (x) liên tục tại x0 > 0 ⇒ g(x) liên tục tại x1 = lnf(x0) .Theo BT 1a, b ⇒ g(x) = ax ⇒ f(ex) = (ex)a ⇒ f(x) = xa với x > 0 *) Nếu f(-1) = -1 : f(x) = -f(-x) = -(-x)a với x < 0 *) Nếu f(-1) = 1 : f(x) = f(-x) = (-x)a với x < 0  xa neáu > 0 x   Vậy f(x) = 0 neáu = 0 ; x  a - x neáu < 0  x  x a neáu ≠ 0  x f(x) =  (nhận) 0  neáu = 0 x Bạn đọc hãy giải BT trên khi thay đổi giả thiết “liên tục tại x0 > 0” bởi “f giới nội trên (c; d)với c > 0” hoặc “f đơn điệu trên (c; d) với c > 0” hoặc “f tăng trên (c; d) với c > 0” BT3 : Xác định hàm f có tính nhân và tính cộng trên R HD: a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nhận) b) f(1) = 1 và f(0) = 0 Theo CM ở BT1 ta có x > 0 : f(x) > 0 x > y ⇒ f(x - y) = f(x) - f(y) > 0 ⇒ f tăng trên R . Theo BT 1c ⇒ f(x) = ax (a > 0) Mặt khác f(x.y) = f(x)f(y) ⇒ axy = a2xy⇒ a = 1 ⇒ f(x) = x (nhận) BT4 : Tìm hàm f : R* → R thoả mãn f(xy) = f(x) + f(y) với ∀ x, y ∈ R* (tạm gọi f là hàm nhân –cộng tính trên R* ) và liên tục tại x0>0 HD : g : R → R : g(x) = f(ex) ⇒g là hàm cộng tính trên R , liên tục tại f(x0) ⇒ g(x) = ax ⇒ f(ex) = ax = a.lnex ⇒ f(x) = a.lnx nếu x > 0 Ta có: f(1) = 0 ; f(-1) = 0 ⇒ f(x) = f(-x) ⇒ f(x) = f(-x) = a.ln(-x) với x < 0 Vậy f(x) = a.lnx (nhận) BT5:Tìm hàm f : R → R thoả mãn f(x + y) = f(x)f(y) với ∀ x, y ∈ R( tạm gọi f là hàm cộng –nhân tính trên R) và liên tục tại x0 HD : f(0) = 0 hoặc f(0) = 1 a) f(0) = 0 : f(x) = f(x + 0) = f(0)f(x) ≡ 0 (nhận) b) f(0) = 1 1 = f(x + (-x)) = f(x)f(-x) ⇒ f(x) ≠ 0 với mọi x x x x f(x) = f( + ) = [f( )]2 > 0 2 2 2 g : R →R : g(x) = ln(f(x)) ,hàm g cộng tính trên R và liên tục tại ln(f(x0)) ⇒ g(x) = ax ⇒ ln(f(x)) = ax ⇒f(x) = eax (nhận) BT6 : Hàm f : R * → R * có tính nhân và f(f(x)) = x với ∀ x ∈ R * . Chứng minh + + + 1 a) Nếu f liên tục trên R * thì f(x) = x hoặc f(x) = + x b)Các mệnh đề sau tương đương i) f(x) = x lim ...