Phương trình và những câu chuyện lý thú: Phần 2

Tiếp nội dung phần 1, Cuốn sách "Những câu chuyện lý thú về Phương trình" Phần 2 gồm các nội dung chính như sau: nghệ thuật tỉa hoa; bí mật bắt đầu từ quả bi-a; từ một chiếc bình có đáy hình bình hành; hàn tín điểm quân; nữ hoàng của vương quốc toán học;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình và những câu chuyện lý thú: Phần 2 20. NGHỆ T H U Ậ T 'lÌẦ HOA' Tháng 6-1974, Hội nghi quốc tế về 'Cách tính \'à ứng dụng điểm bất động' lần đầu tiên, được tổ chức tại Mỹ. Tham gia hội nghi nàv có hàng chục nhà toán học cùa các nước Âu - Mỹ và Nhật Bản. Tại hội nghị, giáo sư Hadro Cooen ờ Trường đại học Bostcxi (Mỹ) đã đọc bài tham luận gầv chảii động, ông đã trìiứi bày Ị^iương píiáp giải Ị^ươna trùưi đại số về điểm bất động. Với tài hùng biện, ông đã đưa người nghe như lạc vào Miơng quốc thực vật đầy sinh động, ông đã mô tả xây dựng một hàng rào hình khôi. Hàng rào này chia làm nhiều tầng từ dưới lên trên ngày càng dày đặc (hừứi 20-1). ở tầng thấp rứiất của hàng rào ông đặt một 'chậu hoa' đặc biệL Sau đó ông đưa tất cà các yếu tố cùa phương trìrứi cần giải \iio 'chậu hoa'. Tiếp đến, xung quanh 'chậu hoa' mọc lên những mầm mới. Những mầm cãv này leo lên hàng rào, \'òng vèo một lúc rồi \arơn lên đùih hàng rào. Mỗi mầm cây chi 1 nghiệm của phương trình. Tất cà nghiệm của pđiương trình đều được tìm ra. E)ây không Ị^ải là chuyện khôi hài. mà chúưi là khoa học Hìnìx 20-1. được thực hiện ờ thế kỳ XX. Mặt bên cùa iiàng rào 129 Làm thế nào mà H.Cooen biến được môn khoa học khô khan thành môn học có sức sống động như vậy. ông đã dựa vào phương pháp tiệm cận điểm bất động mà Skafn đã đưa ra. H.Cooen đã hoàn thành xuất sắc ba việc: Một là, tạo ra một hàng rào hình trụ; Hai là, tạo ra 'chậu hoa' có nhiều mầm cây; Ba là, để cho những mầm cây thần kỳ lớn lên theo nhũng thông tin có được. Trưóc hết hãy xem hàng rào hình trụ. Đó là việc sắp xếp khéo léo hàng loạt mặt số phức c .J, 0), C|, Q ... giống như các tấm đan của tầng nhà lầu (hình 20-2). Sau đó, trên mặt mỗi tấm số phức chia ra thành những tam giác vuông cân theo một quy tắc nhất định. Tấm dưới cùng có ký hiệu là C.J, cạnh của tam giác vuông cân là 1. Kết cấu của Cq C.J giống nhau, chỉ khác là đường xiên của hai mặt tách ra, , tấm trước đi qua điểm gốc, tấm sau thì không đi qua điểm gốc (hình 20-3). Hình 20-2 Hình 20-3 Từ Q , bề mặt của các tầng là C|, Cj... Trên các bề mặt đó đều có đường xiên đi qua điểm gốc. Trên mỗi tầng đó, đường huyền của tam giác vuông cân sẽ thu nhỏ lại còn một nửa. 130 Bảy giờ, giữa hai tầng gần nhau chúng ta dùng những thanh kim loại nhỏ dựng thành khối lập phương nhỏ (hình 20-4). Đến đầy H.Cooen đã hoàn thành \iệc thứ nhất. Việc thứ hai là xây dựng 'chậu hoa', ông đưa mặt Ị^ẳng píiía dưới chia ra ba góc 12Ơ' (hình 20-5). 131 Như vậy đối với đa thức f(x), bậc n và một điểm z bất kỳ trên mặt phẳng đều có thể tứih được to = f(z). Vị trí của co phải là một trong ba khu vực đó. Nếu ở góc I thì trên điểm z tương ứng đánh dấu '1', ở góc II đánh dấu '2', ở góc m đánh dấu '3'. Như vậy chúng ta có thể đánh dấu trên tất cả các điểm nút cùa hàng rào. Điều này rõ ràng là bằng việc truyền tất cả thông tin của f(x) trên toàn bộ hàng rào. Đây thực sự là điều kỳ diệu. Sau khi làm các việc ở trên, H.Cooen lại chứng minh: Lấy điểm gốc Q, trên bề mặt làm trung tâm, cạnh bên dài l,04m, nhất định có tồn tại một điểm n theo chiều ngược kim đồng hồ. Ký hiệu của những điểm này theo hướng từ 1 đến 2 như các chấm đen trên hình 20-6. H.Cooen gọi các hình tam giác vuông trên mặt là 'chậu hoa', còn các điểm n ở xung quanh 'chậu hoa' chmh là những cái mầm đã mọc lên. Chứng minh này của ông thực ra không khó, nhưng rất tốn công, ở đây không đề cập đến. Hình 20-6. “Chậu hoa” và mầm Hình 20-7 Bây giờ ta xem những cây thần kỳ của H.Cooen đã lớn lên như thế nào? 132 Đẽ làm rõ điều này, phải có \ í dụ sau đây: ííế u chúng ta muốn giải phưcmg ưình - 5 = 0 có thể làm như sau: Lấy f(x) = X' - 5. Dễ hiểu là f(l) < 0, f(2) > 0 thì giữa 1 và 2 Ị*ải có 1 nghiệm. Xét điểm giữa, ta tính được f(l,5) < 0 thì giũa 1,5 và 2 phải có 1 nghiêm. Ta lại tính được f(l,75) > 0 nên ta Ị^án đoán được giũa 1,50 \-à 1,75 có 1 nghiêm. Cứ như vậy, vòng quanh nghiệm ngày càng nhỏ lại, C U Ố I cùng nít lại còn 1 điểm. Đó cỉúnh là nghiệm V s , ta có f(V5) = 0. Thực tế tính toán trên đây cũng là 'phương Ị^áp mọc mầm' của cây. Mầm cây bắt đầu từ 1, cứ túứi dần lên. Quy định là cứ tính hàm số thục f(a) < 0 tương ứng với điểm a. Mầm mọc xuyên sang bẽn ỊAải > 3 ngược với nó là \’Uơn sang bên trái (hình 20-7). ^ Do càng mọc lên càng cao thì càng dày, cuối cùng là không gian càng bé lại. Tựa hổ như chỉ thẳng theo hướng ị í ỉ . Hình 20-8 thể hiện quá trình nàv. 'V5 Hình 20-9 133 Phương pháp thực vật kỳ lạ của H.Cooen dùng là nguyên lý trong ví dụ nêu ở trên. Qiỉ có điều là phương pháp này sử dụng 4 mặt thì nó phức tạp hơn mà thôi. Hình 20-9 mô tả sự vươn lên của một nhánh hình trụ của H.Cooen. Ngày nay các nhà toán học đã dựa theo phương Ị ^ p của H.Cooen để tạo ra trình tự túứi toán cho máy túứi điện tử. 134 21. B ỉ MẬT BẮT BẦU TỨ QUẢ Bl-A Bi-a là ttò chơi bắt nguồn từ Pháp \'ào thế kỷ XVI. Tuy \’ậy có mưcũ ván bi-a đầu tiên được chơi vào thế kỷ x r v , ngay trên sản đất, gần giống như chơi bóng chày. Người thợ đóng đồ gỗ H.de Vigne đã đóng cho vua Louis XI chiếc bàn bi-a đầu tiên. Hiện có cách chơi bi-a của Mỹ (pun) bi-a điện (do nhà buôn S.Gensberg người Mỹ gốc Ba Lan phát minh năm 1938)... Ngày nay có rát nhiều người mê trò chơi này nhưng không mấy ai biết được nguyên lý toán học của nó. Ta xem quả bi-a là một hình tròn, bàn bi-a có chiều d ...