PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

Tham khảo tài liệu phương trình vi phân cấp 2, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 BÀI TOÁN CAUCHYTìm nghiệm của phương trình F(x, y, y’, y”) = 0 (1)hoặc: y” = f(x, y, y’) (2) 0 0 thỏa diều kiện ban đầu : y(x ) = y 0 1Lưu ý: nghiệm tổng quát của ptvp cấp 2 có 2 hằngsố tự do, cần 2 điều kiện để tìm 2 hằng số này. y’(x ) = y Ví dụTìm nghiệm bài toán: y” = x2 (1) y(0) = 1, y’(0) = -2 (2) x3 (1) � y = + C1 (3) 3 x4 � y= + C1 x + C 2 (4) 12 (2), (3) ⇒ C1 = -2 (2), (4) ⇒ C2 = 1 4 xVậy nghiệm bài toán là: y= − 2x+1 12 MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢCLOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ đưa về ptvp cấp 1 theo p, xLOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ đưa về pt cấp 1 theo hàm p và biến y n LOẠI 3: làm:ỏa F(x,ty,ty’,ty”) = t F(x,y,y’,y”) Cách F th đặt y’ = yz đưa về pt theo x, z Ví dụ1 / y = 2 y Pt không chứa y, đặt y = pPt trở thành: p = 2 p( =px) p ( ) dp Với p ≠ 0 = dx � p = x + C1 2 p 2 � y = ( x + C1 ) 1 3 � y = ( x + C1 ) + C 2 3 p = 0 ⇔ y’ = 0 ⇔ y = C 2 / (1 + y2 ) yy = ( y2 − 1)( y) 2 Pt không chứa x Đặt y’ = p (xem y là dy dy dy dp biến) y = =( =p p == p, (p ( ) p =py) dx dy dx dy 2 2 2Pt trở thành: (1 + y ) yp p = ( y − 1) pVới p ≠ 0: dp y2 − 1 � 2y 1 � = 2 dy = � 2 − �dy p y(1 + y ) � + y y� 1 � py = C1 (1 + y2 ) � y y = C1 (1 + y )2 ydy 1 2 � 2 = C1dx � ln(1 + y ) = C1x + C 2 1+ y 2 x2 ty ty” – (ty – x ty’)2x2yy” – (y – xy’)2 =0 2Đặt y’ = yz ⇒ y” = y’z + yz’ [x2yy” – (y – xy’)2 ] = t = yz2 + yz’ 2 2 2Pt trở thành: x y( yz + yz) = ( y − xyz)Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y2 2 2 2 2 x ( z + z) = (1 − xz) � x z+ 2 xz = 1 (Tuyến tính ) C 1 C1 y 1 C1 − 1 � z= + 2 � = + 2 � y = C 2 xe x x x y x x PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) p(x), q(x), f(x) liên tụcy” + p(x)y’ + q(x)y = 0 Phương trình thuần nhất 0 rCấu trúc nghiệm pt không thuần nhất: y = y + y• y0 là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất,• yr là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất Nguyên lý chồng chất nghiệm 2Nếu y và y lần lượt là các nghiệm của pt y” + p(x)y’ + q(x)y = f (x) 2 y” + p(x)y’ + q(x)y = f (x) 1 2thì y + y là nghiệm của pt 1 2 y” + p(x)y’ + q(x)y = f (x) + f (x) Giải phương trình thuần nhất 1 2Nếu y và y là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của ptthuần nhp(x)y’ + q(x)y = 0 y” + ất 0 1 1 2 2thì nghiệm tổng quát của pt này là Nếu biết trước 1 nghiệm y1 ≠ 0, y2 y ược tìm+như đ =Cy Cy sau − −p( x) dx e y2 = y = 1 dx y2 1 Ví dụGiải pt: x2y” – xy’ + y = 0, biết pt có 1 nghiệm y1 = xp(x) = – 1/x − −p( x) dx e y2 = y = 1 2 dx y1 − dx −− e x x y2 = x� 2 dx = x� dx = xln | x | 2 x x y0 = C1x + C2xln|x| Giải pt: (1+x2)y” + 2xy’ – 2y = 4x2 + 2 (k0 t/nhất) biết phương trình có 2 nghiệm y = x2 và y = x + x2nếu pt k0 t/ nhất có 2 nghiệm y = x2 và y = x + x2Thì y1 = (x + x2) – x2 là n ...