Phương trình vi phân ngẫu nhiên - Tích phân ngẫu nhiên: Phần 1

Tài liệu này nhằm giới thiệu ngắn gọn lý thuyết tích phân ngẫu nhiên và lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên cùng những ứng dụng trực tiếp vào lý thuyết lọc, lý thuyết khuếch tán và các mô hình điều khiển ngẫu nhiên. Phần 1 Tài liệu gồm nội dung 5 chương đầu. Tham khảo nội dung giáo trình để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình vi phân ngẫu nhiên - Tích phân ngẫu nhiên: Phần 1 TR1ẦN HÙNG THAOTÍCH PHÂN NGÂU NHIÊN VÀ PHƯƠNG JRINH VI PHÂN NGẪU NHIÊN NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT HÀ NỘI 200051-517.2 41-10-99K1ỈKT-99 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách này nhằm giói thiệu ngắn gọn lý thuyết tíchphân ngẫu nhiên và lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiêncùng nhũng ứng dụng trục tiếp vào lý thuyết lọc, lý thuyếtkhuếch tán và các mô hình điêu khiến ngẫu nhiên. Đế đọcđược cuốn sách này, độc giả cần có nhũng kiến thức tối thiếuvê lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên bao gồm cá lý thuyếtmactingan, mà một phin được nhắc lại trong Chương mỏ đầu(tức Chương 0). o đây, tích phân ngẫu nhiên chủ yếu là loạitích phẫn lỒy đối vói một chuyển động Brown và phương trìnhvi phân ngẫu nhiên cũng chí là loại phương trình hô chi phốibởi một tiếng Ồn trắng Gauss; nhũng phát triển cao hơn trongcác lĩnh vục này không được xét tới vì cuốn sách muốn nhằmphục vụ mệt diện tương đối rộng nhũng người có nhu cầu tìmhiếu bước đầu những yếu tổ quan trọng nhỒt của Giải tíchngẫu nhiên. Riêng Chương 7 do Giáo su Nguyễn Văn Hữubiên soạn. Một số đinh lý khó sẽ chí được phát biếu và nêu ý nghíamà không chứng minh. Phần Phụ lục gồm một số vỒn đề được nêu đế giải thíchhoặc mó rộng những phần đã trình bày trong những chươngtrước đó. Tác giá xin trân trọng cám ơn Giáo su Phan Huy Khái,Phó tiến sĩ Vũ Vần Đẹt ớ Viện Toán học, cùng Nhà xuỒt bẩnKhoa học và Kỹ thuật đã giúp đõ và tạo điều kiện để cuốnsách nàv được ra đời. Tác giá cũng xin cám ơn anh Đẽ NgọcCuông đã hoằn thành tốt và hợp lý việc xù lý văn bản một tàiliệu khoa học với nhiêu ký hiệu khó nhu cuốn sách này. Hà nội, tháng 1/1999 Trần H ù n g T h a o1 Chưong 0 KIẾN T H Ứ C CHUẨN BỊCho {Ũ,T,P) là một không gian xác suất.§1. Quá trình đo đưcrc1.1. Dinh nghĩa. Một quá trình ngẫu nhiên X : (X , í > 0) được gọi tlà 3o được. nếu nó đo được đối vói ữ-truòng tích JSỊJ+ ® ĩ . Điêu đó cónghĩa là với mọi tập Borel của R, tập hợp {(t,u) : X(t,w) e B}thuộc vê a-trưòng tích 6ỵ+ ® T. Dó là ơ-truòng nhó nhất chúa các tập +có dạng [0,t] X A vón € R .1.2. Chú ý: a/ Moi quá trình liên tục là đo được b/ Nếu À là một quá trình 3o ổưạc, thì mọi quỹ đạo của nó X (t) wđều là nhũng hàm thực Borel trên R . +§2. Quá trình thích nghi vói mót bộ lọc Tị2.1. C á c đ i n h nghía. a / M ộ t họ các ^ - t r ư ờ n g con Tị c T được gọi là một bộ lọc, thoamãn các điều kiện thông thường nếu: (i) . Đ Ó là m ộ t họ tăng, tức là T, c Ti nếu s < í (ii) . Họ ổó là liên tục phái, tức là Tị — f ) Ft+C (iii) . Moi tập P-bó qua đtrạc A E T đều được chứa trong To (do đónằm trong mọi Tt)- b/ Cho một quá trình ngửu nhiên X = (A», í > 0 ) . Xét họ + c/ Cho mót bô loe bất kỳ (T,. i e R ) trên ịíì.Ti M ó i quá trình V3ưoc gói là thích nghi với bó loe này, nếu: Với moi V; là So 3ưac ã ối vói(T-í T u ô ng Ti + Ằ Moi quá trinh A = (A|. / € R ) là thích nghi với lích sư cua nó iT, .I € R+) r A 4 á/ Cho mót quá trinh A với lịch SƯ cua nó ia í J . . / é R / Mótquá trình V bất kỳ ià thích nghi với lịch sứ (T^ I của quá trình A nêu vechi nếu v,(u.ì có thế biêu diên ổuơc đuối dang v.«_i = /,(A,,U)-.V,,(_•)....).trong ổó >;..•:•».... là môi. dãy các phần tứ của [0./1 (phu thuốc vào / ) và/ . là mót hàm Borel thirc trên (cũng phu thuôc vào / ) . với .V là tậphop các số nguvên dương Dó là theo tiêu chuẩn cô ổi é n cua Doob về tínhSo Sươc r Nhu vây. nếu quá trình ) thích nghi vói lịch sứ ! . / cua A . thì khicó vói mọi í. và moi - . muốR biết giá tri cua V, tai ãlém chi cần biếtquĩ cao tương ứng .§3. T h ờ i đ i ể m dừng3.1. M ờ đầu. Ta v ẫ n l u ô n i u ô n x é t m ó t k h ô n g g i a n xác s u ấ t (Q.f,P) rtrên đ ó ta c ố đ ị n h m ó t b ô lọc (J t)tea+- K h i ta nói m ộ t quá t r ì n h là thíchnghi, ta luôn l u ô n ...