Quy nạp toán học

Tài liệu nhằm củng cố kiến thức của các em học sinh thông qua giải các bài tập vận dụng về Quy nạp toán học. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung chi tiết các bài tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Quy nạp toán học QUY NẠP TOÁN HỌC “tailieumontoan.com” Date II. Bài tâpI. Lý Thuyêt  Dạng 1: Chứng minh đẳng thức ❗ Cơ sở phương pháp. Bài 1. Chứng minh rằng Để kiểm tra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n (n + 1 ) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = đúng với mọi số n ≥ p ta làm như sau: 2 tự nhiên n ≥ 1 .1) Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. Lời giài2) Giả sử mệnh đề đúng mới n = k n (n + 1 ) (Giải thiết quy nạp) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = (1) 23) Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = VP = 1 ⇒ ( 1 ) đúng với Nhận xét: Trong việc chứng minh bằng phương phápquy nạp các bạn cần khai thác triệt để giả thiết quy n =1 Bước 2: Giả sử (1) đúng với k, k ∈ , k ≥ 1 tức là:nạp (là mệnh đề khi n = k), tức là trong quá trình giải k (k + 1)bài toán ở bước chứng minh n = k + 1 các bạn phải biến 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k = 2đổi làm sao xuất hiện giả thiết quy nạp. Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + ( k + 1 ) (k + 1 ) (k + 1 ) + 1 (k + 1 )(k + 2 ) = = ( 2 ) 2 2 Ta có 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + ( k + 1 ) k (k + 1) = ( 1 + 2 + 3 + .... + k ) + k + 1 = +k +1 2 k 2 + 3k + 2 (k + 1 )(k + 2=) = 2 = 2 ( 2 ) ⇒ dpcmHiệu ứng đô mi nô là hình ảnh biểu diễn trực quan cho Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1phương pháp quy nạp toán học Bài 2. Chứng minh với n ∈ N * thì 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1 ) =n2 (2) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Lời giải  Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức.Với n = 1: mệnh đề (2) trở thành: 1=1 = 1 (đúng) 2 Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ,Giả sử mệnh đề (2) đúng khi n= k ≥ 1, tức là: ta có bất đẳng thức:S k = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1 ) = k 2 (giải thiết quy nạp) 1 1 1 1 13 + + ⋅⋅⋅ + + > . n +1 n +2 2n − 1 2n 24Cần chứng minh mệnh đề (2) đúng với n = k + 1, tứclà cần chứng minh: Lời giảiS k + 1 = 1 + 2 + ... + ( 2n − 1 ) + 2 2 ( k + 1 ) − 1  = ( k + 1 ) 2 Với n = 2 , ta có VT > VP nên bất đẳng thức đúng vớiThật vậy: n =2 Giả sử bất đẳng thức đúng với : n= k ≥ 2 , tức là :S k + 1 = S k + 2 2 ( k + 1 ) − 1  = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 1 1 1 1 13Vậy mệnh đề (2) đúng với mọi ...