QUY NẠP TOÁN HỌC: phương pháp và các bài toán

Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp hay và rất hữu dụng. Tuy nhiên, đối với học sinh khối 11 thì đây là nội dung khó hiểu và khó áp dụng. Bài viết này của tôi sẽ giúp các bạn một hướng để hiểu hơn về phương pháp này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
QUY NẠP TOÁN HỌC: phương pháp và các bài toán 1 B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C ĐÀ N NG NGUY N TH THÙY DƯƠNGQUY N P TOÁN H C: PHƯƠNG PHÁP VÀ CÁC BÀI TOÁN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P MÃ S : 60.46.40 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Đà N ng - Năm 2011 2 Công trình ñư c hoàn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Ngư i hư ng d n khoa h c: TS. NGUY N DUY THÁI SƠN Ph n bi n 1: PGS.TSKH.TR N QU C CHI N Ph n bi n 2: GS.TSKH. NGUY N VĂN M U Lu n văn ñư c b o v t i H i ñ ng b o v ch m Lu n văn t t nghi p Th c sĩKhoa h c Xã h i và nhân văn, h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 23 tháng 10 năm2011 Có th tìm hi u lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin - H c li u - Đ i h c Đà N ng - Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m - Đ i h c Đà N ng 3 M Đ U1. Lý do ch n ñ tài Phương pháp quy n p toán h c là m t trong nh ng hình th c suy lu n,hơn n a, là m t phương pháp ch ng minh c ñi n trong toán h c (m t s s giacho r ng phương pháp này ñã ñư c s d ng t trư c công nguyên b i Plato,Aristotle). Có th nói ñây là m t trong nh ng phương pháp ch ng minh cơ b nvà hi u qu , do ñó vi c ñưa nó vào chương trình Toán trung h c ph thông làt t y u. Bên c nh ñó, vi c th c hi n các bư c ch ng minh quy n p còn giúp h csinh phát tri n năng l c trí tu (t ng h p, khái quát hóa). H c sinh gi i có th bi t phương pháp quy n p toán h c ngay t khi cònh c các l p trung h c cơ s , nhưng nói chung thì ph i ñ i ñ n năm h c l p 11các em m i ñư c làm quen l n ñ u v i phương pháp ñó (qua sách giáo khoaĐ i s và Gi i tích). Và ch v i m t th i lư ng khá khiêm t n trong chươngtrình toán l p 11 (lư ng bài t p cũng h t s c ít i), nói chung ki n th c và knăng ch ng minh quy n p c a h c sinh thư ng là còn h n ch . T nh ng lý do ñó, chúng tôi ch n ñ tài “Quy n p toán h c: phươngpháp và các bài toán” v i mong mu n nghiên c u, tích lũy nh ng ki n th c c nthi t cho vi c gi ng d y, ñ c bi t là vi c gi ng d y các h c sinh khá, gi i.2. M c ñích và nhi m v nghiên c u Phương pháp quy n p mà các em h c trung h c ph thông thư ng ch làphương pháp có d ng c ñi n như sau. Đ ch ng minh m t “m nh ñ ch a bi n” P(n) là ñúng v i m i n ∈ * tati n hành hai bư c: Bư c 1. Ch ra r ng m nh ñ P(1) ñúng. Bư c 2. V i m i k ∈ * , ta ch ng minh r ng n u m nh ñ P(k) ñúng thìm nh ñ P(k + 1) cũng ñúng. Trong trư ng h p ph i ch ng minh r ng P(n) là ñúng v i m i s nguyêndương n ≥ m (m là m t s nguyên dương ñã cho) thì bư c 1 ta c n ki m tram nh ñ P(m) ñúng và gi nguyên bư c 2 (nhưng v i k ≥ m). Th t ra, phương pháp quy n p toán h c có nhi u bi n th r t hay. M ttrong các bi n th ñó ngày nay ñư c bi t ñ n dư i tên g i Quy n p (lùi) ki uCauchy, do chính Cauchy s d ng l n ñ u khi ch ng minh b t ñ ng th c trungbình c ng – trung bình nhân: a1 + a2 + K + an n ≥ a1a2 L an (*) n 4v i m i s nguyên dương n ≥ 2 và v i m i b n s th c không âm a1, a2, …, an. V i n = 2, (*) ñư c ch ng minh tr c ti p (ch dùng ki n th c trung h c cơs ). V i n t ng quát, Cauchy ch ng minh r ng n u (*) ñã ñúng v i n = k (trongñó, 2 ≤ k ∈ * ) thì (*) cũng ñúng khi n = 2k. B ng cách như v y, ta th y (*)ñúng v i m t dãy tăng vô h n các s nguyên dương n = 2m ( m ∈ * ). Cu i cùng, bư c m u ch t (thư ng ñư c g i là bư c lùi), Cauchy nh nxét r ng: n u (*) ñúng v i n = N ( N ∈ * , N > 2) thì nó cũng ñúng khi n = N − 1.Cách ch ng minh là khá ñơn gi n: v i a1, a2, …, aN-1 ≥ 0, xét a1 + a2 + K + aN −1 aN = (ho c aN = N −1 a1a2 L aN −1 ) N −1và áp d ng (*) cho N s a1, a2, …, aN ≥ 0, ta có ngay b t ñ ng th c a1 + a2 + K + aN −1 N −1 ≥ a1a2 L an . N −1T ñó suy ra (*) ñúng v i m i s nguyên dương n ≥ 2. Đ th y m t bi n th khác, trư c tiên chúng tôi xét m t bài toán khá khó(ñ i v i h c sinh gi i Toán trung h c ph thông): Bài toán (Pn). Ch ng minh r ng t 2n − 1 s nguyên b t kỳ ( n ∈ * ) taluôn có th trích ra n s có t ng chia h t cho n. (Ph ng theo m t ñ thi ch n h c sinh gi i Toán Trung Qu c) Sơ lư c l i gi i c a bài toán (Pn): - Ch ng minh r ng n u k t lu n c a (Pn) và (Pm) là ñúng ( n, m ∈ * ) thìk t lu n c a (Pnm) cũng ñúng. - Ki m tra r ng k t lu n c a (Pn) là ñúng khi n là s nguyên t (ho c n = 1). Khi ñó, vì m i s nguyên dương l n hơn 1 ñ u có th phân tích thành tíchc a cá ...