Quy trình thiết lập phương trình Lagrange lọai II

Những bài tập chúng ta học hầu hết chỉ có 1, hoặc 2 bậc tự do, cơ hệ cô lập, không cóma sát tại trục, ròng rọc v.v… nên đều là liên kết hôlônôm, lý tưởng. Chỉ những bàitóan lớn nhiều bậc tự do, vật chất biến dạng, không cô lập thì mới thấy rõ sự phihôlônôm, không lý tưởng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Quy trình thiết lập phương trình Lagrange lọai IIHoang Ha –Tin K6 TO LIVE IS TO FIGHT!_______________________________________________________________________Quy trình thiết lập phương trình Lagrange lọai IIBước 1: xét tính chất của liên kết: hôlônôm, lý tưởng.Bước 2: xác định số bậc tự do của cơ hệ n ( bằng số tọa độ suy rộng ) và chọn tọa độsuy rộng.Bước 3: tính các lực suy rộng Qj hoặc thế năng V.Bước 4: Xác định biểu thức động năng của cơ hệ T.Bước 5: Tính các đạo hàm động năng, thế năng và hàm Lagrange.Bước 6: viết phương trình Lagrange lọai 2 và giải chúng.------------------------------------------------------------Bước 1: Xét tính chất của liên kết: hôlônôm, lý tưởng (Giáo trình trang 161 -164)Những bài tập chúng ta học hầu hết chỉ có 1, hoặc 2 bậc tự do, cơ hệ cô lập, không cóma sát tại trục, ròng rọc v.v… nên đều là liên kết hôlônôm, lý tưởng. Chỉ những bàitóan lớn nhiều bậc tự do, vật chất biến dạng, không cô lập thì mới thấy rõ sự phihôlônôm, không lý tưởng.Bước 2: Xác định số bậc tự do của cơ hệ n ( bằng số tọa độ suy rộng ) và chọn tọa độsuy rộng. (Giáo trình trang 178)Chất điểm (vật nặng kích thước nhỏ) trong không gian N-chiều thì có N bậc tự do.Cố thể (ròng rọc, thanh, v.v…) trong không gian N-chiều thì có 2N -1 bậc tự do.( Thông thường ta xem cố thể là 2 chất điểm (2N bậc tự do) được nối với nhau bởi 1thanh không giãn (1 phương trình liên kết))Phương trình liên kết chỉ ra mối quan hệ giữa các tọa độ suy rộng nên nó làm giảm đisố bậc tự do. Ta hay gặp nhưng phương trình liên kết cơ bản là: “ nối nhau bởi 1thanh không giãn ”,”mắc qua 1 ròng rọc cố định”,” tiếp xúc bánh răng”, “lăn khôngtrượt”,…Cơ hệ có a chất điểm và b cố thể và m phương trình liên kết thì có a*N + b*(2N-1) - mbậc tự do.Thông thường bài toán yêu cầu tìm vận tốc, gia tốc của vật nào thì tọa độ không gianx,y,z hoặc góc phi tương ứng của nó sẽ là tọa độ suy rộng.Khi tìm ra các tọa độ suy rộng, ta phải chọn chiều dương của nó. Có 2 cách chọnchiều dương. Cách 1: chiều dương của tọa độ không gian là từ trái qua phải, chiềudương của góc là ngược chiều kim đồng hồ. Cách 2: chiều dương là cùng chiềuchuyển động. Hoặc có thể phối hợp cả 2 cách cho bài tóan. Tuy nhiêu, khi bài toán cónhiều chất điểm, cố thể chuyển động ngược hướng, thì việc chọn chiều cũng đóng 1vai trò quan trọng trong việc giải quyết.Chú ý: trong phương trình Lagrange, tọa độ suy rộng chỉ là tọa độ không gian x,y,zhoặc góc phi. Tọa độ suy rộng không phải là vận tốc, gia tốc. Nhưng trong phươngtrình Hamilton, tọa độ suy rộng có thể là vận tốc, động lượng v.v…. Do phương trìnhLagrange vẫn còn giữ tính chất vật lý của cơ hệ, còn Hamilton chỉ quan tâm đến yếutố toán học, tìm ra cách giải ngắn gọn đẹp mà quên đi ý nghĩa vật lý bản chất của cơhệ.______________________________________________________________________________________Hoang Ha –Tin K6 TO LIVE IS TO FIGHT!_______________________________________________________________________Bước 3: tính các lực suy rộng Qj hoặc thế năng V.(Giáo trình trang 184)Để tìm lực suy rộng, ta chỉ cần tính công của ngọai lực. Ngọai lực là những lực do bênngòai tác dụng như: lực, moment truyền động; lực, môment cản, ma sát. Trọng lựcđược tính trong phần thế năng trọng trường.Công A của ngoại lực sẽ là 1 hàm theo các biến tọa độ suy rộng qj. Ta chỉ cần tínhđạo hàm riêng theo từng biến là có được các lực suy rộng.Chú ý: Công A = F.s = M.phi. Trong đó: A(J), F(N),s(m),M(Nm),phi(rad). Trong vật lýhoặc cơ học, đôi khi có những công thức khó nhớ, ta có thể dùng đơn vị (thứ nguyên)của các đại lượng để suy ra công thức đúng.Thế năng: có 2 lọai thế năng là thế năng trọng trường (trọng lực) và thế năng đàn hồi(lực đàn hồi của lò xo)Thế năng đàn hồi: rất đơn giản cho mọi trường hợp V=(kdl)/2 với k là độ cứng lò xo(N/m), dl là dộ giãn dài của lò xo (m) so với vị trí không biến dạng. Đôi lúc các bạngặp lò xo xoắn thì V=(kphi^2)/2. k vẫn là độ cứng nhưng đơn vị là Nm, phi là gócxoắn (rad) của lò xo so với vị trí ban đầu chưa xoắn.Thế năng trọng lực: V=mgh luôn đi kèm với một khái niệm là mốc (mức) thế năng đểxác định giá trị âm hoặc dương của h (h là khỏang cách từ vật đến mức thế năng).Chính xác là ta phải đưa vào 1 hệ trục tọa độ Oy (tọa độ 1 chiều thôi, không cần đến2 chiều) để xác định giá trị h. Tuy nhiên trong rất nhiều bài toán người ta không đề cậpđến mức thế năng trọng trường, do thế năng trọng lực là hàm tuyến tính theo h, h lạituyến tính theo tọa độ suy rộng và trong công thức Lagrang có đạo hàm bậc nhất thếnăng theo tọa độ suy rộng nên mặc dù ta chọn 2 mức thế năng khác nhau thì ta vẫn racùng một kết quả (do đạo hàm của hằng số thì bằng 0).Bước 4: Xác định biểu thức động năng của cơ hệ T: (Giáo trình trang 128)Động năng có thể chia làm 2 loại: động năng tịnh tiến đặc trưng cho chuyển động tịnhtiến của chất điểm và động năng quay đặc trưng cho chuyển động quay của ...