SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC MÀNG CÓ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT

Phương pháp tách biến Fourier đã được sử dụng để nghiên cứu dao động của các màng có hình dạng đặc biệt. Hai bài toán dao động tổng quát của màng chữ nhật và màng tròn đã được đưa ra như một ví dụ minh hoạ về tính hiệu quả và đơn giản của phương pháp tính toán này khi giải các bài toán vật lý có liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC MÀNG CÓ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC MÀNG CÓ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT Nguyễn Thị Minh, Phạm Hữu Kiên Khoa Vật l ý trường Đại học Sư pham Thái Nguyên Tóm tắt: Phương pháp tách biến Fourier đã được sử dụng để nghiên cứu dao động của cácmàng có hình dạng đặc biệt. Hai bài toán dao động tổng quát của màng chữ nhật và màng tròn đãđược đưa ra như một ví dụ minh hoạ về tính hiệu quả và đơn giản của phương pháp tính toán này khigiải các bài toán vật lý có liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong nghiên cứu nàychúng tôi đã trình bày lời giải chi tiết về dao động của màng chữ nhật và màng tròn. Kết quả tìm đượccũng được chúng tôi thảo luận và nhận xét tương đối đầy đủ trong công trình này.1. Giới thiệu Dao động tự do của các vật có hình dạng đặc biệt (vuông, chữ nhật, tròn và quạt…) đãđược nghiên cứu, tính toán bằng nhiều phương pháp khác nhau. Nhưng đơn giản và hiệu quảhơn cả là đưa bài toán về dạng các phương trình vi phân đạo hàm riêng, sau đó sử dụng cáccông cụ toán học để giải các phương trình vi phân này như: biến đổi ảnh Laplace, tách biếnFourier,... Mặc dù, đã có rất nhiều giáo trình viết về những phương pháp và kết quả tính toánđối với các dạng dao động này. Xong trên thực tế những giáo trình này vẫn chưa được giảngdạy phổ biến và có tính chất hệ thống tại các trường Đại học ở Việt Nam. Tuy nhiên, nhữngvấn đề này lại thu hút được sự quan tâm rất lớn của những nhà nghiên cứu về Vật lý lý thuyếtcũng như các bạn Sinh viên khoa Vật lý ở các trường Đại học Sư phạm. Vì vậy, với mongmuốn tìm hiểu, trang bị những kiến thức bổ ích, chúng tôi đã lựa chọn hướng nghiên cứu “Sửdụng phương pháp tách biến Fourier để tìm dao động của các màng có hình dạng đặc biệt”.Với mong muốn tìm lời giải cho các bài toán dao động tự do của các loại màng có hình dạngđặc biệt, chúng tôi đã sử dụng phương pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm của các phươngtrình vi phân đạo hàm riêng mô tả dao động của màng trên. Kết quả tính toán được, chúng tôiđã thảo luận và nhận xét rất rõ ràng. Chúng tôi hy vọng rằng nghiên cứu này có thể làm tàiliệu tham khảo tốt cho Sinh viên đã và đang theo học Vật lý ở các trường Đại học Sư phạm,Đại hoc Khoa học Tự nhiên và Học viên ôn thi Cao học….2. Phương pháp tính toán Chúng tôi đã sử dụng phương pháp tách biến Fourer để tính toán trong quá trình nghiêncứu. Giả sử tìm nghiệm phương trình [1-3]: 1 U tt − a 2 Δu = G ( x, y, z...t ) , ,, (1)nghiệm thoả mãn phương trình vi phân (1), được tìm bằng cách phân tích hàm U ( x, y, z ,...t )thành tích các hàm chứa các biến độc lập với nhau, cụ thể là chúng ta đặt: U ( x, y, z ,...t ) = T(t ) X ( x )Y( y ) Z ( z ) ⋅⋅⋅, (2)sau đó thay phương trình (2) vào phương trình (1), kết hợp với điều kiện biên và điều kiệnban đầu sẽ tìm được nghiệm của bài toán. Cụ thể chúng tôi xét chuyển động dao động của một màng mỏng được căng ra trên mặtphẳng (x,y), các dao động chuyển động ngang vuông góc với mặt phẳng của màng dưới sự tácdụng của ngoại lực (hình 1) [1-3, 13]. Đưa vào các đại lượng sau: U = U ( x, y, t ) là đại lượng mô tả dao động ngang của màng tại ( x, y, t ) ρ là mật độ khối lượng trên một đơn vị diện tích của màng. T là sức căng tính trên một đơn vị diện tích. w = w ( x, y, t ) là ngoại lực tác dụng tính trên một đơn vị diện tích. Fe = w ( x, y, t ) ΔxΔy là ngoại lực tác dụng lên yếu tố diện tích ΔxΔy . ∂u Fd = β ΔxΔy là lực hãm hay lực tắt dần tỷ lệ với vận tốc dao động trên yếu tố diện ∂ttích Δx ⋅ Δy , β là hệ số tắt dần. U(x,y,z) y u x X Hình 1. Dao động của màng 2 T ⋅ Δx T ⋅ Δy β2 α2 ...