Tài liệu ôn tập Đại số tuyến tính

Các đường cong phức hợp là những đường cong phức tạp như thân ô tô, cánh máy bay, vỏ tàu thủy, các loại chai mỹ phẩm… đường cong phức hợp trong thiết kế đòi hỏi từ hai khả năng, thứ nhất đường sinh đường cong dựa vào tập hợp các điểm đo đạc được, thứ hai là hiệu chỉnh đường cong trên các đối tượng đã có. Về mặt toán học các đường cong phức hợp là các đường cong trơn được xây dựng dựa vào các dữ liệu điểm, tuy nhiên trong CAD/CAM dạng đa thức được sử dụng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu ôn tập Đại số tuyến tính Tài liệu Ôn tập Đại số tuyến tính . phần lý thuyết Câu 19. Trình bày đường cong phức hợp? cơ sở toán và thuật toán hình thành đường cong phức hợp ? Các đường cong phức hợp là những đường cong phức tạp như thân ô tô, cánh máy bay, v ỏ tàu thủy, các loại chai mỹ phẩm… đường cong phức hợp trong thiết kế đòi hỏi từ hai khả năng, thứ nh ất đường sinh đường cong dựa vào tập hợp các điểm đo đạc được, thứ hai là hiệu chỉnh đường cong trên các đối tượng đã có. Về mặt toán học các đường cong phức hợp là các đường cong trơn được xây dựng d ựa vào các d ữ liệu điểm, tuy nhiên trong CAD/CAM dạng đa thức được sử dụng điển hình nhất. Để biểu thị m ức trơn của các đường cong người ta đưa ra 3 sự liên tục tại các điểm dữ liệu đó là: C0- sự liên tục về vị trí ( position) C1- sự liên tục về độ dốc( slope) C2- sự liên tục về độ cong ( curvature) Đa thức bậc ba là dạng thấp nhất để biểu diễn đường cong nhưng mang lại hiệu quả đáng k ể: + Cho phép biểu diễn đường cong trong không gian + Tốc độ tính toán nhanh Do vậy đường cong bậc lớn hơn 3 không được phổ biến sử dụng trong CAD/ CAM. Các đường cong phức hợp chính trong CAD/ CAM là: + Hermite, Cubic , Spline + Bezier + B-spline 1. Đường cong Hermite Đường cong Hermite trơn tham số bậc ba được định nghĩa bởi tọa độ và vecto tiếp tuyến t ại hai đi ểm đầu mút. Phương trình tổng quát được viết như sau: P(t) = i 0 Trong đó P( t) là điểm trên đường cong Khai triển phương trình ta được : (19.1) Viết dưới dạng vecto : P(t)=a3t3+ a2 t2+ a1t+ a0 (19.2) Viết dưới dạng ma trận : P(t)= * (19.3) Vécto tại một điểm trên đường cong nhận được bằng cách đạo hàm : P(t)= t (19.4) Viết dưới dạng vecto : (19.5) Dể xác định các hệ số ai cần dựa vào các điều kiện biên đã biết là P0, P1, P’0 tại t=0, P’1tại t=1 Thay phương trình (19.1) vào (19.2) ta được : P0= a0 P’0= a1 P1= a3+ a2+ a1+ a0 (19.6) P’1= 3a3+ 2a2+ a1 Từ đó ta tính được các hệ số ai như sau: a0= P(0) a1= P’(0) a2= -3P(0)+ 3P(1)- 2P’(0)- P’(1) (19.7) a0= 2P(0)- 2P(1)+ P’(0)+P’(1) Thay phương trình (19.7) vào phương trình (19.2) ta nhận được : P(t) = (2t3-3t2+1) *P(0)+ (-2t3+ 3t2) *P(1)+ (t3-2t2+t)*P’(0) +(t3-t2)*P’(1) (19.8) P’(t)=(6t2-6t)* P(0)+ (-6t2+ 6t) *P(1)+ (3t2-4t+1)*P’(0) +(3t2-2t)*P’(1) (19.9) Phương trình (19.8) viết dưới dạng ma trận như sau : P(t) = T.MH.GH Trong đó : T= được gọi là ma trận tham số MH= được gọi là ma trận đặc trưng của đường cong Hermite GH= gọi là ma trận hình học Tương tự ta có phương trình (19.9) viết dưới dạng ma trận P’(t) = T.MH*.GH Trong đó : MH*= 2. Đường cong Bezier Bezier đã bắt đầu làm công việc trên dựa trên các công th ức toán h ọc để cho công vi ệc thi ết k ế m ềm dẻo hơn dựa trên phương pháp nội suy. Đường cong Bezier nhận các điểm điều khiển hoặc các đỉnh điều khiển được sắp xếp theo một trật tự điểm (P0…Pn) đó là các điểm gần với đường cong. Các điểm này có thể được biểu diễn trên màn hình đồ họa và được con người sử dụng dùng để điều khiển hình dạng của đường cong theo ý muốn của mình. Đường cong Bezier dựa trên nền tảng các hàm đa thức, dùng để biểu diễn các đ ường cong tự do. Đường cong Bezier có bậc n được định nghĩa bằng n+1 đỉnh điều khiển và hàm tham s ố có dạng : P(t)= (t) (19.10) Trong đó các vecto Pi biểu diễn n+1 điểm điều khiển. Hàm Bi,n(t) là hàm trộn cho các biểu diễn Bezier và được mô tả bằng đa thức Bernstein như sau : Bi,n(t)=C(n,i).ti(1-t)n-i 0 (19.11) Trong đó C(i,n) là nhị thức Newton được tính như sau: C(i,n)= i=0….n Các hàm trộn này thỏa mãn điều kiện sau : Bi,n(t)≥0 cho tất cả các i 0 (19.12) (t) =1 0 Dạng thứ hai của phương trình (19.12) gọi là ‘’đặc trưng chung ‘’. Các điều kiện này tác động vào các đường cong để làm đảm bảo tồn tại thực thể với các hình thù lồi được cài đặt bởi các điểm ngoài cùng của đa giác đươc tạo ra bằng các điểm điều khiển và được gọi là thân lồi. Thân lồi có thể đ ược coi tương đương với các đa giác và nó sẽ nhận được nếu ta dùng một sợi dây cao su bọc quanh các điểm điều khiển. Các hàm trộn của Bezier tạo ra bậc n của đa thức và cho n+1 điểm điều khiển. Nói chung tác đ ộng vào đường cong Bezier để thêm vào các điểm điều khiển đầu và cuối. Các điểm điều khiển ở giữa ch ỉ có tác dụng lôi kéo co giãn đường cong và có thể được sử dụng điều chỉnh cho đường cong thay đ ổi hình thể. Các đa thức Bernstein được sử dụng như các hàm trộn cho các đường cong Bezier tương đ ương v ới mảng các điểm điều khiển đường cong đa thức đơn giản. Mức độ hình dạng cuối cùng phụ thu ...