Tài liệu ôn tập Toán cao cấp 1 - Trường ĐH Thương mại

Tài liệu ôn tập Toán cao cấp 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận và định thức; Vector và không gian vector; Hệ phương trình tuyến tính; Dạng toàn phương; Hàm số, giới hạn và sự liên tục; Đạo hàm và vi phân hàm một biến;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu ôn tập Toán cao cấp 1 - Trường ĐH Thương mại BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƢỜNG ĐẠI HỌC THƢƠNG MẠIKHOA: TIẾNG ANH THƢƠNG MẠI −−−−−−−−TÀI LIỆU ÔN TẬP Bộ môn: Toán cao cấp I Lớp HP: 18134FMAT0111 GV: Phan Thanh Tùng Hà Nam, 2018 1Chương I: Ma trận và định thức CHƢƠNG I. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨCA. LÝ THUYẾTI. Các phép toán về ma trận. 1. Hai ma trận bằng nhau. Hai ma trận cùng cấp A = (aij) m×n , B = (bij) m×n. Ma trận được gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau. A = B  aij = bij ( i, j) 2. Phép cộng, trừ hai ma trận. Cho hai ma trận cùng cỡ A = (aij) m×n , B = (bij) m×n. Tổng của A và B là ma trận được xácđịnh như sau: A + B = (aij + bij) m×n 3. Phép nhân ma trận với một số tích của ma trận A với một số α. α.A = α.(aij) m×n = (α.aij) m×n 4. Phép nhân hai ma trận. Cho A là ma trận cỡ m x p: A = (aij) m×p và B = (bij) p×n. Tích của A và B là một ma trậncỡ m x n. Kí hiệu: A.B = C = (cij) m×n. Chú ý:  Phép nhân hai ma trận A.B chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng củama trận B.  A.B B.A. Nếu A.B = B.A = In → A là ma trận nghịch đảo của B và ngược lại.II. Các phương pháp tính định thức. 1. Đối với định thức cấp 2: Lấy tích đường chéo chính trừ tích đường chéo phụ. a11 a12 a11 a12Ví dụ 1. Cho A .a a22 / → det(A) = |a21 a22 | = a11.a22 – a12.a21 = const 21 2. Đối với định thức cấp cao (n 3). 2Chương I: Ma trận và định thức  Định thức cấp 3. Cách 1: Dùng công thức Scrame: Viết thêm hai dòng hoặc cột dưới hoặc kế địnhthức đã cho. Khi đó:  Tích các phần tử theo đường chéo chính ta lấy dấu cộng (+).  Tích các phần tử theo đường chéo phụ ta lấy dấu trừ (-). a11 a12 a13Ví dụ 2. Cho A là ma trận vuông cấp 3: A = [a21 a22 a23 ] a31 a32 a33 a11 a12 a13→ det (A) = |a21 a22 a23 | a31 a32 a33 = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a12.a21.a33 – a11.a23.a32 Cách 2: Dùng phương pháp triển khai theo dòng (hoặc cột). a11 a12 a13 1 1 a22 a23 1 2 a21 a23 1 3 a21 a22Ví dụ 3.|a21 a22 a23 | = (-1 .a11.|a a33 | + (-1 .a12.|a a33 | + (-1 .a13.|a a32 | 32 31 31 a31 a32 a33  Const nếu các phần tử của định thức là số thực.  Biểu thức nếu các phần tử của định thức có chứa ẩn các số.  Số phức nếu các phần tử của định thức thuộc R thuộc C.  Đối với định thức cấp cao (cấp n): Dùng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột. Các phương pháp ứng dụng để tính định thức cấp cao có thể có:  Chọn ưu tiên cho những dòng hoặc cột có nhiều số 0 và số 1 để tiến hành khai triểngiúp ta giảm bớt các bước trung gian.  Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa dòng hoặc cột của định thức xuất hiện nhiềusố 0 và số 1 trước khi chọn để khai triển.  Chú ý:  Nếu ma trận có dạng chéo tam giác → giá trị định thức bằng tích các phần tử trênđường chéo chính. 3Chương I: Ma trận và định thức  Phép biến đổi gauss thứ 1: Nếu đổi dòng → đổi dấu.  Phép biến đổi gauss thứ 2: Nếu nhân 1 dòng với k 0 → định thức tăng k lần.  Phép biến đổi gauss thứ 3: Lấy 1 dòng trừ k lần dòng khác → định thức không đổi.III. Hạng của ma trận. 1. Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức. Bước 1: Tìm một định thức con cấp k 0 của A. Giả sử định thức con cấp k 0 là Dk. Bước 2: Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức Dk. Xảy ra 3 khảnăng:  Không có một định thức con cấp k 1 nào của A, xảy ra  k = min{m, n}.→ Khi đó r(A) = k = min{m, n}. Thuật toán kết thúc.  Tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức con Dk đều bằng 0.→ Khi đó r(A) = k. Thuật toán kết thúc.  Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1 chứa định thức con Dk khác 0.→ Khi đó lặp lại bước 2 với Dk+1 thay cho Dk. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xảy ratrường hợp (1) hoặc (2) thì thuật toán kết thúc. 2. Tìm hạng c ...