Tài liệu ôn thi: Tích phân

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến sốBài toán: Tính I =*Phương pháp đổi biến dạng I Định lí . Nếu 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu ôn thi: Tích phânhttp://ebooktoan.com 1 TÍCH PHÂNI.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN1. Phương pháp đổi biến số bBài toán: Tính I = f ( x)dx , a*Phương pháp đổi biến dạng IĐịnh lí . Nếu 1) Hàm x = u (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α ; β ] , 2) Hàm hợp f (u (t )) được xác định trên [ α ; β ] , 3) u (α ) = a, u ( β ) = b , b β thì I = � a f ( x)dx = � α f (u (t ))u (t )dt .Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau: π 1 2 a) I = x 2 x 3 + 5dx b) J = ( sin 4 x + 1) cos xdx 0 0Giải: a) Ta cú t = x 3 + 5 � dt = 3x 2 dxKhi x=0 thỡ t=5Khi x=1 thỡ t=6 1 6 +1 1 (t ) 6 2 6 1 6 dt 1 1 2 ( t ) dt = 1 �I = x � x + 5dx = � = = t t 2 3 2 t 3 35 3 +1 5 9 5 0 5 2 4 10 = 6− 5. 3 9 π π 2 �1 � 6b) Ta có J = (sin 4 x + 1)d (sin x) = � sin x + sin x �2 = 5 �5 �0 5 0Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau:http://ebooktoan.com 2 4 1 dx a) 4 − x 2 dx b) 0 0 1 + x 2 �π π �Giải: a) Đặt x = 2sin t , t �� − ; �. �2 2� πKhi x = 0 thì t = 0. Khi x = 2 thì t = . 2 Từ x = 2sin t dx = 2cos tdt π π 4 2 2�0 4 − x 2 dx = �0 � 4 − 4sin 2 t .2cos tdt = 4 cos 2 tdt = π . 0 �π π �b) Đặt x = tan t , t ��− ; �. � 2� 2 πKhi x = 0 thì t = 0 , khi x = 1 thì t = . 4 dt Ta có: x = tan t � dx = . cos 2 t π π 1 4 4 π dx 1 dt π � 0 � � 1 + x 2 = 0 1 + tan 2 t . cos 2 t = ...