Tài liêu ôn toán - Chuyên đề bất đẳng thức hiện đại - Phần 2

Tham khảo tài liệu tài liêu ôn toán - chuyên đề bất đẳng thức hiện đại - phần 2, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liêu ôn toán - Chuyên đề bất đẳng thức hiện đại - Phần 2 THU T P QR1.3. K 231.3.2 Nh ng đ ng th c c n nhV i 3 bi n b t kì a; b; c; ta đ t p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc (p2 3q; q 2 3pr):Khi đó, chúng ta có nh ng đ ng th c sau a2 + b2 + c2 p2 = 2q a3 + b3 + c3 p3 = 3pq + 3r ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = pq 3r (a + b)(b + c)(c + a) = pq r a4 + b4 + c4 p4 4p2 q + 2q 2 + 4pr = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 q2 = 2pr a3 (b + c) + b3 (c + a) + c3 (a + b) p2 q 2q 2 pr = a3 (b2 + c2 ) + b3 (c2 + a2 ) + c3 (a2 + b2 ) pq 2 (2p2 + q )r = a4 (b + c) + b4 (c + a) + c4 (a + b) qp3 3pq 2 + (5q p2 )r = a5 + b5 + c5 p5 5p3 q + 5pq 2 + 5(p2 = q )rCòn r t nhi u nh ng đ ng th c khác n a, các b n hãy t xây d ng cho mình thêmnhé, chúng s r t có ng d ng v sau.1.3.3 B t đ ng th c SchurĐ nh lý 1.1 (B t đ ng th c Schur) Cho các s không âm a; b; c: Khi đó, v i m ir > 0; ta có b t đ ng th c sau ar (a c) + br (b a) + cr (c b)(a c)(b a)(c b) 0Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c a = b; c = 0 ho c các hoán v tương ng.Ch ng minh. Do tính đ i x ng, gi s a b c: Khi đó, ta vi t b t đ ng th c l inhư sau (a b)[ar (a c) br (b c)] + cr (a c)(b c) 0Ta có ar br a c b c 0;Nên b t đ ng th c đúng. B t đ ng th c Schur đư c ch ng minh.Chúng ta có 2 trư ng h p đ c bi t thư ng hay đư c ng d ng đ gi i toán là r = 1và r = 2: Khi đó, chúng ta đư c nh ng b t đ ng th c tương ng làH qu 1.1 (B t đ ng th c Schur b c 3) Cho các s không âm a; b; c: Khi đó,b t đ ng th c sau đúng a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)24 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI M T S K THU T GI I TOÁN , abc (a + b c)(b + c a)(c + a b):Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c a = b; c = 0 ho c các hoán v tương ng.H qu 1.2 (B t đ ng th c Schur b c 4) Cho các s không âm a; b; c: Khi đó,b t đ ng th c sau đúng a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) a3 (b + c) + b3 (c + a) + c3 (a + b):Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c a = b; c = 0 ho c các hoán v tương ng.D ng pqr tương ng c a 2 b t đ ng th c trên là p2 ) p(4q r 9 p2 )(p2 (4q q) r 6pNhưng do 4q p2 có th không dương mà r thì luôn luôn không âm nên chúng ta haydùng c 2 b t đ ng th c trên d ng sau (s r t hi u qu ) p2 ) p(4q r max 0; 9 p2 )(p2 (4q q) r max 0; 6pĐôi khi b n s g p ph i trư ng h p gi thi t bài toán là a; b; c là đ dài 3 c nh c am t tam giác (khi đó ta có 4q p2 ), khi đó ta th y a + b c; b + c a; c + a b lành ng s không âm, v y nên theo b t đ ng th c Schur, ta có X (b + c a)[(b + c a) (c + a b)][(b + c a) (a + b c)] 0 cyc X , (b + c a)(a b)(a c) 0 cyc ...