Tài liệu tham khảo: Số phức

Tài liệu tham khảo và ôn thi toán học chuyên đề về Số phức
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu tham khảo: Số phức Chuyên đề: số phức Chủ đề1: dạng đại số của số phức Cộng, trừ, nhân, chia số phứcA. củng cố kiến thức1. Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏamãn i 2 = -1 được gọi là một số phức. a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo i được gọi là đơn vị ảo.Tập các số phức được kí hiệu là ΧSố phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R ⊂ Χ .Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.2. Hai số phức bằng nhau z = a+bi (a,b ∈ ¡ ) z = a+b i (a,b ∈ ¡ ) a = a z = z ⇔  b = b 3. Cộng, trừ hai số phức z = a+bi (a,b ∈ ¡ ) z = a+b i (a,b ∈ ¡ ) z + z = (a + a ) + (b + b) i z − z = (a - a) + (b - b )iSố đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0.4. Nhân hai số phức z = a+bi (a,b ∈ ¡ ) z = a+b i (a,b ∈ ¡ ) zz = aa − bb + (ab + a b)i5. Môđun của số phức, số phức liên hợp z = a +bi (a, b ∈ ¡ ) thì môđun của z là z = a 2 +b2 z = a +bi (a, b ∈ ¡ ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi. Ta có: 2 zz = z z , zz = a 2 + b 2 = z z + z = z + z, zz=z z, z = z z là số thực khi và chỉ khi z = z6. Chia cho số phức khác 0 1 Nếu z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là z-1= z 2 . z z zz z z  z z Thương của z cho z khác không là: = zz-1 = . Ta có: = ,  ÷= . z zz z z z z 7. Biểu diễn hình học của số phức Số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độOxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi làtrục ảo r Số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) cũng được biểu diễn bởi vectơ u = (a; b) , do đó M(a; b) uuuurlà điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) cũng có nghĩa là OM biểu diễn sốphức đó. rr Ta có:Nếu u , v theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z thì r r u + v biểu diễn số phức z + z, r r u − v biểu diễn số phức z - z, r k u (k ∈ ¡ ) biểu diễn số phức kz, uuuu r r OM = u = z , với M là điểm biểu diễn của z.B. Các dạng bài tập 1. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức a) Phương pháp giải - áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán,kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. b) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) (−1 + i)3 − (2i )3 Bài giải a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i. Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1. b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có(−1 + i)3 = (−1)3 + 3(−1)2 i + 3(−1)i 2 + i3 = 2 + 2i(−2i)3 = (−2)3 (i)3 = 8i Do đó nhận được kết quả của bài toán là 2 + 10i 1 Ví dụ 2: Tính 1 3 + i 2 2 Bài giải 1 3 1 3 − i − i 2 2 1 3 Ta có :  =2 2 = − i 1 3  1 3  1 2 2  + i ÷ − i÷  2 2  2 2  Ví dụ 3: Tính 1 + i + i 2 + i3 + ... + i 2009 Bài giải Ta có: 1 − i 2010 = (1 − i)(1 + i + i 2 + i3 + ... + i 2009 ) 2Mà 1 − i 2010 = 2 . Nên 1 + i + i 2 + i3 + ... + i 2009 = , hay là 1− i1 + i + i 2 + i3 + ... + i 2009 = 1 + i . Ví dụ 4: Tính (1 − i)100 Bài giải Nhận thấy (1 − i)2 = (1 − i)(1 − i) = −2i .Suy ra (1 − i )100 = ((1 − i )2 )50 = (−2i)50 = (−2)50 (i)50 = −250 . Ví dụ 5: Cho số phức z = − + 1 3 . i 2 2 1Hãy chứng minh rằng: z 2 + z + 1 = 0; z = z 2 = ; z3 = 1. . z Bài giải 1 Do z 2 = − − 3 . Nên 2 1 3 1 3 i z + z + 1 = (− − i ) + (− + i) + 1 = 0 ; 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 − − i 1 3 Lại ...