Tập hút phụ thuộc thời gian cho phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian

Bài viết nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian thông qua lý thuyết tập hút. Cụ thể, sử dụng lý thuyết được đưa ra bởi F. Di Linio, G. S. Duane và R. Temam năm 2011, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của tập hút phụ thuộc thời gian cho bài toán biên ban đầu đối với phương trình khuếch tán không cổ điển.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tập hút phụ thuộc thời gian cho phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian TẬP H T PH THU C TH I GIAN CHO PH NG TR NH KHU CH TÁN KH NG C I N V I H S PH THU C TH I GIAN Cao Thị Thu Trang Khoa Toán và KHTN Email: trangctt@dhhp.edu.vn Đỗ Thị Hoài Khoa Toán và KHTN Nguyễn Thị Thanh Thanh Trường THCS Xuân Đỉnh, Bắc Từ Liêm, Hà Nội Ngày nhận bài: 20/3/2023 Ngày PB đánh giá: 28/3/2023 Ngày duyệt đăng: 05/5/2023 TÓM TẮT: Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ thuộc thời gian thông qua lý thuyết tập hút. Cụ thể, sử dụng lý thuyết được đưa ra bởi F. Di Linio, G. S. Duane và R. Temam năm 2011, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của tập hút phụ thuộc thời gian cho bài toán biên ban đầu đối với phương trình khuếch tán không cổ điển. Kết quả chính của bài báo là một mở rộng của Yong-feng Liu (Applicable Analysis, 2014). Từ khóa: Phương trình khuếch tán không cổ điển; hệ số phụ thuộc thời gian; tập hút phụ thuộc thời gian. TIME-DEPENDENT ATTRACTORS FOR THE NON-CLASSICAL DIFFUSION EQUATIONS WITH TIME-DEPENDENT COEFFICIENT ABSTRACT: In this article, we study the asymptotic behavior of the non-classical diffusion equations with time-dependent coefficients through the theory of attractors. Namely, using the theory given by F. Di Linio, G. S. Duane, and R. Temam in 2011, we prove the existence of time-dependent attractors for the initial boundary value problem for the non-classical diffusion equations. The article aims to extend and improve some results in Yong-feng Liu (Applicable Analysis, 2015). Keywords: Non-classical diffusion equations; time-dependent coefficient; time- dependent attractor. 90 TR NG Đ I H C H I PHÒNG 1. ĐẶT VẤN ĐỀ trình này được xây dựng bởi E.C. Aifantis (1980) [1], nhằm mô tả các hiện Có thể nói, phương trình đạo hàm tượng vật lí như dòng chảy không riêng như chiếc cầu nối giữa Toán học và Newton, các hiện tượng trong cơ học ứng dụng. Rất nhiều mô hình trong thực chất rắn. Từ khi ra đời đến nay, lớp tế được mô tả thông qua phương trình vi phương trình này đã và đang được quan phân - đạo hàm riêng. Khi có một tâm nghiên cứu mở rộng trên nhiều khía phương trình đạo hàm riêng nói chung, cạnh khác nhau như: thay đổi, mở rộng việc đầu tiên chúng ta sẽ nghiên cứu tính các điều kiện áp đặt lên hàm phi tuyến đặt đúng của bài toán (sự tồn tại, tính duy (kiểu Sobolev, kiểu đa thức, kiểu mũ), nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của thay đổi miền xác định của biến không nghiệm vào điều kiện ban đầu). Tiếp sau gian (miền bị chặn, miền không bị chặn, đó, chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm miền không hình trụ, miền thay đổi theo cận nghiệm của mô hình. Bởi vì, thông thời gian).... qua dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có Theo khảo sát, có khá nhiều kết quả thể dự đoán được xu thế phát triển của nghiên cứu lớp phương trình khuếch tán mô hình ở tương lai. Từ đó, ta có thể tác không cổ điển có dạng như (1) với động, điều chỉnh để thu được kết quả t = là hằng số. Các kết quả đạt được mong muốn. chủ yếu là: chứng minh sự tồn tại, duy Trong bài báo này, chúng tôi nhất nghiệm; sự tồn tại của tập hút toàn nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm cục, tập hút đều, tập hút mũ, tập hút ngẫu (thông qua lí thuyết tập hút) của bài toán nhiên… [2-4, 8-10,12]. biên ban đầu đối với phương trình Bên cạnh đó, thực tế các mô hình khuếch tán không cổ điển với hệ số phụ trong Vật lí, hóa học, sinh học nói thuộc thời gian có dạng chung thường chịu sự tác động của các ut − t Δut − Δu + f u = g , x Ω, t  , yếu tố ngoại lực, các thay đổi trong tự u Ω = 0, t , nhiên hoặc nhân tạo. Với mong muốn u x, =u x , x Ω. nghiên cứu mở rộng lớp phương trình (1) khuếch tán không cổ điển sao cho gần trong đó Ω là miền bị chặn trong 3 với với thực tế hơn, F. Rivero (2013) [7] đã biên trơn, . nghiên cứu lớp phương trình dạng (1) 2. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU với hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thời VỀ PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN gian (tức là có thể thay đổi theo thời KHÔNG CỔ ĐIỂN gian). Sau F. Rivero, các tác giả Y-F. Phương trình khuếch tán không cổ Liu và D. Tao (2015) [6], J. Wang và điển là một mở rộng của lớp phương Q.Ma (2021) [11], Hoài, Thanh, Thoa trình phản ứng khuếch tán. Lớp phương [5] cũng đã nghiên cứu mô hình (1) và T P CHÍ KHOA H C S 58, Tháng 5/2023 91 cũng đã đạt được một số kết quả về tính hàm phi tuyến và ngoại lực như đặt đúng cũng như sự tồn tại của tập hút sau: (H1) Giả sử phụ thuộc thời gian. Hai kết quả tiêu t : 0, , t C1 biểu nhất hiện nay nghiê ...