Tích phân suy rộng (Phần 2)

Tham khảo sách tích phân suy rộng (phần 2), khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tích phân suy rộng (Phần 2)TÍCH PHÂN SUY RỘNG (phần 2) TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định trên [a, b] {x0}. Nếu lim f ( x ) = ∞ ± x → x0 ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] b ∫a f ( x )dx Tích phân suy rộng loại 2 là với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b] Định nghĩa.Cho f(x) khả tích trên [a, b – ε ], với mọi ε >0 đủ nhỏ,kỳ dị tại b b −ε b ∫a f ( x )dx = εlim+ ∫a f ( x )dx →0 b b ∫a f ( x )dx = εlim+ ∫a +ε f ( x )dx Nếu f kỳ dị tại a →0 b ∫a f ( x )dx hội tụNếu giới hạn hữu hạn: Ngược lại: phân kỳ.Nếu f kỳ dị tại a và b b c b ∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c f ( x )dxNếu f kỳ dị tại x0 ∈ (a, b) b x0 b ∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫ f ( x )dx x0(vế trái hội tụ ⇔ các tp vế phải đều hội tụ) Công thức Newton-LeibnitzCho f(x) khả tích trên [a, b – ε ], với mọi ε > 0 đủ nhỏ,kỳ dị tại b, F(x) là nguyên hàm của f(x). b ∫a f ( x )dx = F (b) − F (a) Với F (b) = lim F ( x ) x →b − Lưu ý: các pp đổi biến số và tp từng phần vẫn dùng như tp xác định. Ví dụ π dx 1 1 ∫0 = = arcsin x 0 2 2 1− x 1 ln x∫0 dx kỳ dị tại x = 0 x 1 2 ln x 1= ∫ ln x.d ( ln x ) = = −∞ 0 20 Vậy tp trên phân kỳ. Ví dụ 1 ln x∫0 f kỳ dị tại x = 0 dx x x 12 1 = 2 x .ln x − ∫ dx x 0 0 1 = 0 − 4 x = −4 0 Ví dụ −1/ 4 dx f kỳ dị tại x = −1/2.I= ∫ −1/ 2 x 2 x + 1 2 t = 2 x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx tdt 1/ 2 dt 1/ 2I=∫ = 2∫ 2 2 t −1 t −1 0 0 t 2 1/ 2  2 −1 t −1 2 1 1 1/=∫  dt = ln t + 1 = ln  −    t −1 t +1  2 +1 0 0 TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂMTiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b - ε ], ∀ε >0, kỳ dị tại b Nếu f ( x ) ≤ kg ( x ), ∀x , a ≤ x < b b b ∫a g ( x )dx ∫a f ( x )dx hội tụ thì hội tụ b b ∫a ∫a g ( x )dx phân kỳ thì f ( x )dx phân kỳ TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2:Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1 f (x) k = lim Đặt (giới hạn tại điểm kỳ dị) x →b − g ( x ) b b Cùng hội tụ ∫a f ( x )dx , ∫a g ( x )dx• 0≠k≠ ∞ hoặc phân kỳ b b ∫a g ( x )dx ⇒ ∫ f ( x )dx hội tụ •k=0 hội tụ a b b ∫a ∫a g ( x )dx phân kỳ ⇒ f ( x )dx phân kỳ•k=∞ Tích phân cơ bản dx dx b b Iα = ∫ , Jα = ∫ (b − x )α a ( x − a )α a ...