Tích phân theo Lebesgue- ôn thi cao học

Tích phân theo Lebesgue- ôn thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích trong việc tự học, ôn thi, tạo tâm thế vững vàng, có thể tự đánh giá và nâng cao vốn kiến thức, giúp trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tích phân theo Lebesgue- ôn thi cao học GI I TÍCH (CƠ S ) Ph n 3. Đ Đo Và Tích Phân §3. TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE Chuyên ngành: Gi i Tích, PPDH Toán (Phiên b n đã ch nh s a) PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 20061 PH N LÝ THUY T 1. Đi u ki n kh tích theo Riemann N u hàm f kh tích trên [a, b] theo nghĩa tích phân xác đ nh thì ta cũng nói f kh tích theo Riemann hay (R)−kh tích. Đ nh lý 1 Hàm f kh tích Riemann trên [a, b] khi và ch khi nó th a mãn hai đii u ki n sau : i. f b ch n. ii. T p các đi m gián đo n c a f trên [a, b] có đ đo Lebesgue b ng 0. 2. Đ nh nghĩa tích phân theo Lebesgue Cho không gian đ đo (X, F, µ) và A ∈ F, f : A −→ R là hàm đo đư c n (a) N u f là hàm đơn gi n, không âm trên A và f = ai .1Ai v i Ai ∈ F, Ai ∩ Aj = i=n n ø (i = j) và Ai = A thì ta đ nh nghĩa tích phân c a f trên A theo đ đo µ b i : i=1 n f dµ := ai µ(Ai ) A i=n (b) N u f là hàm đo đư c, không âm thì t n t i dãy các hàm đơn gi n, không âm fn sao cho fn (x) ≤ fn+1 (x), lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ A n→∞ Khi đó ta đ nh nghĩa f dµ = lim fn dµ n→∞ A A Chú ý r ng, tích phân hàm đo đư c không âm luôn t n t i, là s không âm và có th b ng +∞ 1 (c) N u f là hàm đo đư c thì f + (x) = max{f (x), 0}, f − (x) = max{−f (x), 0} là các hàm đo đư c, không âm và ta có f (x) = f + (x) − f − (x). N u ít nh t m t trong các tích phân f + dµ, f − dµ là s h u h n thì ta đ nh nghĩa A A f dµ = f + dµ − f − dµ A A A Ta nói f kh tích trên A n u f dµ t n t i và h u h n (hay c hai tích phân A f + dµ, f − dµ là s h u h n). A A3. Các tính ch t Cho không gian đ đo (X, F, µ) 3.1 M t s các tính ch t quen thu c : Gi s A ∈ F và f, g là các hàm đo đư c, không âm trên A ho c kh tích trên A. Khi đó ta có • (f + g)dµ = f dµ + gdµ A A A cf dµ = c f dµ ∀c ∈ R A A • N u f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ A thì f dµ ≤ gdµ A A • N u A = A1 ∪ A2 v i A1 , A2 ∈ F, A1 ∩ A2 = ø thì f dµ = f dµ + f dµ A A1 A2 3.2 S không ph thu c t p đ đo O. Khái ni m h u kh p nơi Đ nh nghĩa Gi s P (x) là m t tính ch t phát bi u cho m i x ∈ A sao cho ∀x ∈ A thì ho c P (x) đúng ho c P (x) sai. Ta nói tính ch t P (x) đúng (hay x y ra) h u kh p nơi (vi t t t hkn) trên t p A n u t p B = {x ∈ A : P (x) không đúng} đư c ch a trong m t t p C ∈ F mà µ(C) = 0 (ho c µ(B) = 0 n u đã bi t B ∈ F ). Ví d 1) Gi s f, g đo đư c trên A. Ta có B := {x ∈ A : f (x) = g(x)} ∈ F Do v y ta nói f (x) = g(x) hkn trên A thì có nghĩa là µ(B) = 0. 2) N u f đo đư c trên A thì t p B = {x ∈ A : |f (x)| = +∞} thu c F . Ta nói f h u h n hkn trên A thì có nghĩa µ(B) = 0. 2 3) Cho các hàm đo đư c fn , f (n = 1, 2, . . .). Ta nói Dãy {fn } h i t hkn trên A v F thì có nghĩa B = {x ∈ A : fn (x) → f (x)} có đ đo 0. S không ph thu c t p đ đo 0 N u µ(A) = 0 và f đo đư c trên A thì f dµ = 0. Do đó : A • N u f có tích phân trên A ∪ B và µ(B) = 0 thì gdµ = f dµ ...