Tính Chaos của hệ phương trình Fitzhugh-nagumo

Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo được xem là mô hình đơn giản mô tả điện áp của màng tế bào. Nếu có những thay đổi làm cho nghiệm của nó bất ổn định hay có tính Chaos, sẽ dẫn đến việc khó phán đoán những kết quả mong muốn. Một hệ Chaos là hệ có hình dạng không thể dự đoán được, nhạy cảm đối với những điều kiện ban đầu và sự thay đổi của những tham số. Bài báo này nghiên cứu sự ảnh hưởng của một tham số, cụ thể là tần số của dòng điện tác động từ bên ngoài, lên tính Chaos của hệ phương trình FitzHugh-Nagumo (FHN) bằng đồ thị rẽ đôi và số mũ Lyapunov lớn nhất. Thông qua kết quả bằng phương pháp số, có ba miền Chaos được tìm thấy tương ứng với các khoảng giá trị khác nhau của tần số của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính Chaos của hệ phương trình Fitzhugh-nagumoPhan Văn Long Em Tính Chaos của hệ phương trình... TÍNH CHAOS CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH FITZHUGH-NAGUMO Phan Văn Long Em(1) (1) Trường Đại học An Giang Ngày nhận bài: 10/8/2018; Ngày gửi phản biện 25/8/20111; Chấp nhận đăng 20/11/2018 Email: pvlem@agu.edu.vnTóm tắt Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo được xem là mô hình đơn giản mô tả điện áp củamàng tế bào. Nếu có những thay đổi làm cho nghiệm của nó bất ổn định hay có tính Chaos, sẽdẫn đến việc khó phán đoán những kết quả mong muốn. Một hệ Chaos là hệ có hình dạngkhông thể dự đoán được, nhạy cảm đối với những điều kiện ban đầu và sự thay đổi của nhữngtham số. Bài báo này nghiên cứu sự ảnh hưởng của một tham số, cụ thể là tần số của dòng điệntác động từ bên ngoài, lên tính Chaos của hệ phương trình FitzHugh-Nagumo (FHN) bằng đồthị rẽ đôi và số mũ Lyapunov lớn nhất. Thông qua kết quả bằng phương pháp số, có ba miềnChaos được tìm thấy tương ứng với các khoảng giá trị khác nhau của tần số của dòng điện kíchhoạt từ bên ngoài.Từ khóa : chaos, đồ thị rẽ đôi, hệ phương trình FitzHugh-Nagumo, số mũ LyapunovAbstract CHAOTIC BEHAVIOR OF FITZHUGH-NAGUMO SYSTEM The FitzHugh-Nagumo system is a simple model describing the membrane voltage. Ifthere are some changes making the solution unstable or chaotic, it will be difficult to predictsome desired results. The chaotic system is unpredictable behavior, high sensitivity to initialconditions and parameter variations. This paper investigates the effect of a parameter,especially the frequency of the external electrical stimulation, on the chaos dynamics ofFitzHugh-Nagumo (FHN) by using the bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent.Through simulations results, three chaotic regions were specified by varying the frequency ofthe external electrical stimulation.1. Đặt vấn đề Tính Chaos là một hiện tượng phi tuyến phức tạp, rất hấp dẫn và được quan tâm trongkhoảng ba thập niên gần đây trong nhiều lĩnh vực như: vật lý, hóa học, sinh thái học, sinh họcvà nhiều lĩnh vực khác. Các dao động Chaos được tìm thấy trong nhiều hệ động lực thuộc nhiềulĩnh vực khác nhau, tính chất của hệ như thế được đặc trưng bởi sự bất ổn định và khả năng dựđoán kết quả bị giới hạn theo thời gian. Nói một cách tổng quát, một hệ Chaos nếu nó xác định,có tính chất không tuần hoàn theo thời gian, nhạy cảm đối với những điều kiện ban đầu và sựthay đổi của những tham số. Như vậy, đối với một hệ thống Chaos thì các quỹ đạo của nó bắtđầu có thể gần nhau nhưng đột ngột trở nên không tương quan, tách ra rất xa nhau một cáchnhanh chóng theo thời gian. Sự hấp dẫn của hệ phương trình Chaos nằm ở chỗ tính phức hợpcủa chúng, cũng như tính chất không thể dự đoán trước và sự nhạy cảm đối với điều kiện ban 66Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 4(39)-2018đầu với sự thay đổi của các tham số. Trong sinh học, tính Chaos và nhiều tính phức hợp khácnhư: sự rẽ đôi, tính tuần hoàn, bán tuần hoàn…được tìm thấy ở rất nhiều trong thực tiễn, điểnhình như điện áp tế bào (Guevara, Glass, & Shrier, 1981; Matsumoto, Aihara, Ichikawa, &Tasaki, 1984; Braun, Wissing, Schäfer, & Hirsch, 1994). Năm 1952, Hodgkin và Huxley đã đưa ra một mô hình toán học bốn chiều có thể xấp xỉđược các tính chất hoạt náo của điện áp tế bào (Hodgkin & Huxley, 1952). Kế từ đó, tính Chaosđã được nghiên cứu trong hệ thống tế bào thực sự và tạo được nhiều thành công một cách địnhlượng nhờ vào mô hình mang tên Hodgkin-Huxley (Aihara, Matsumoto & Ichiwaka, 1985).Dựa trên mô hình này, rất nhiều mô hình đơn giản hơn đã được công bố nhằm mô tả sự hoạtnáo của điện áp tế bào. Năm 1962, FitzHugh R. và Nagumo J. đã công bố một mô hình mớimang tên Mô hình FitzHugh-Nagumo (FHN) được biết là mô hình hai chiều đơn giản hóa từ hệphương trình nổi tiếng của Hodgkin-Huxley (Fitzhugh, 1960; Nagumo, Arimoto & Yoshizawa,1962). Tuy là mô hình đơn giản hơn, nhưng nó có nhiều kết quả giải tích đáng chú ý và giữđược các tính chất, ý nghĩa về mặt sinh học. Mô hình này được tạo thành từ hai phương trìnhcủa hai biến u và v . Biến đầu tiên là biến nhanh, được gọi là biến hoạt náo, nó thể hiện chođiện áp của màng tế bào. Biến thứ hai là biến chậm, nó thể hiện cho một số đại lượng vật lí phụthuộc thời gian như độ dẫn điện của dòng ion đi ngang qua màng tế bào. Hệ phương trình FitzHugh-Nagumo được biểu diễn bởi hệ sau:  du   u (u  1)(1  bu )  v  s(t ),  dt (1)   dv  cu,   dt trong đó, b, c là các hằng số dương, s(t ) là dòng điện kích hoạt từ bên ngoài được chobởi công thức: a s(t )  cos2 ft , (2) 2 f với a và f tương ứng là các biên độ và tần số của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài. Kếtquả bên dưới cho thấy tính tuần hoàn và tính chaos của điện áp màng tế bào khi cho tần số haybiên độ thay đổi. Tính tuần hoàn của những sóng dao động của điện áp đươc phân chia thànhcác dạng như: dạng chu kì nhịp m : n , trong đó m và n tương ứng là các số sóng thực sự và sốlượng các dao động xuất hiện một cách đều đặn theo thời gian trong một chu kì. Ví dụ, dạngchu kì nhịp 1:1 nghĩa là điện áp của màng tế bào đồng bộ với các dao động. Cụ thể, Hình 1giới thiệu các dạng trạng thái khác nhau của hệ phương trình (1) tương ứng với các tần số vàbiên độ khác nhau của dòng điện kích hoạt từ bên ngoài được cho bởi công thức (2). Sự thay đổi từ trạng thái tuần hoàn sang trạng thái bất ổn định hay Chaos làm cho nghiệmcủa hệ phương trình (1) có những hình dạng khác nhau, đặc biệt là tính Chaos được rất nhiềunhà nghiên cứu quan tâm hiện nay. ...