Tính chất hình học của đường cong bậc ba

Nội dung chính của bài giảng trình bày một số tính chất đơn giản của đường cong bậc ba như: Đường cong bậc ba có phương trình y= ax3 + bx2 + cx + d và đường cong bậc ba bất kì. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính chất hình học của đường cong bậc ba TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG CONG BẬC BA Nguyễn Tiến Lâm, Ngô Quang Dương - THPT Chuyên KHTN, Hà NộiBài viết trình bày một số tính chất đơn giản của đường cong bậc ba.1. Mở đầuTrong hình học sơ cấp, định lý Menelaus là một định lý nổi tiếng liên quan đến bài toán chứngminh thẳng hàng của các điểm. Định lý này được chứng minh bằng định lý Thales. Dưới đây, tasẽ đưa ra cách chứng minh bằng phương pháp tọa độ.Quy ước trong bài viết, tọa độ Descartes của điểm M là .xM ; yM /.Định lý 1 (Định lý Ménélaus). Các điểm A1 , B1 , C1 lần lượt chia các đoạn thẳng BC , CA, ABtheo tỉ số ˛, ˇ, , trong đó ˛, ˇ, 2 R. Ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng khi và chỉ khi ˛ˇ D 1.Chứng minh. Chiều thuận. Giả sử ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng và  là đường thẳng điqua ba điểm đó. Trong hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng  có phương trình ax C by Cc D đặt f .x/ D axC by C c. Điểm A1 chia BC theo tỉ số ˛ nên tọa độ của A1 là x0 và ˛x B C yB ˛yCA1 I : Vì A1 2  nên 1 ˛ 1 ˛ xB ˛xC yB ˛yC a Cb C c D 0; 1 ˛ 1 ˛ f .xB /dẫn đến ˛ D : f .xC / f .xC / f .xA /Một cách tương tự, ta cũng có ˇ D I D : Từ đó, ta có ngay ˛ˇ D 1: f .xA / f .xB /Chiều đảo. Giả sử đường thẳng MN cắt đường thẳng AB tại P 0 và giả sử P 0 chia đoạn ABtheo tỉ số 0 : Theo chiều thuận thì ˛ˇ 0 D 1 mà ˛ˇ D 1 nên D 0 ; tức là P 0 P: Suy raM; N; P thẳng hàng.Tiếp theo, ta xét định lý Carnot là dạng tổng quát của định lý Menelaus. Nội dung của định lýđược phát biểu dưới đây:Định lý 2 (Định lý Carnot). Giả sử các điểm Ai , Bi , Ci lần lượt chia cạnh BC , CA, AB theo tỉsố ˛i ; ˇi ; i ; với i D 1; 2: Khi đó, 6 điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 thuộc một conic khi và chỉ khi˛1 ˛2 ˇ1 ˇ2 1 2 D 1.Định lý trên được chứng minh tương tự như định lý Menelaus có sử dụng thêm định lý Viete chophương trình bậc 2. 119 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/20162. Một số tính chất của đường cong bậc ba2.1. Đường cong bậc ba có phương trình y D ax 3 C bx 2 C cx C dMục này đưa ra các tính chất của đường bậc ba có phương trình dạng y D ax 3 C bx 2 C cx C d .Bổ đề 1. Khi b D 0, giả sử A, B, C là ba điểm phân biệt thuộc đường cong bậc ba K. Khi đó,A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi xA C xB C xC D 0.Chứng minh. Giả sử đường thẳng qua hai điểm A, B có phương trình  W ˛x C ˇy C D 0:Chiều thuận. Giả sử C thuộc đường thẳng AB; ta cần chỉ ra xA C xB C xC D 0: Thật vậy, tọađộ A, B, C là nghiệm của hệ ( ˛x C ˇy C D 0; ax 3 C cx C d D y:Thay y từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu tiên, ta được phương trình hoành độ giaođiểm của .C / và  là ax 3 C .˛ C b/x C C c D 0:Vì xA , xB , xC là nghiệm của phương trình trên nên theo định lý Viete, ta có ngay xA CxB CxC D0:Chiều đảo. Giả sử xA C xB C xC D 0: Gọi C 0 là giao điểm của K và đường thẳng AB, theophần thuận thì xA C xB C xC 0 D 0; dẫn đến xC D xC 0 hay C C 0 : Do đó, A, B, C thẳnghàng.Từ bổ đề trên, ta thu được một kết quả đẹp liên quan tới đường cong bậc ba K trong trường hợpb D 0 được trình bày trong mệnh đề dưới đây.Mệnh đề 1. Khi b D 0; giả sử A, B, C là ba điểm phân biệt thuộc đường cong K. Tiếp tuyếncủa K tại các điểm A, B, C cắt đường cong K tại các điểm thứ hai A0 , B 0 , C 0 . Chứng minh rằngA0 , B 0 , C 0 thẳng hàng khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng.Chứng minh. Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng thuộc đường cong K. Phương trình tiếptuyến của K tại A là y D .3axA2 C c/.x xA / C axA3 C cxA C d: Do vậy, xA là nghiệm képcủa phương trình ax 3 C cx C d D .3axA2 C c/.x xA / C axA3 C cxA C dhay .x xA /2 .x C 2xA / D 0:Phương trình trên có hai nghiệm xA ; 2xA nên hoành độ của điểm A0 là xA0 D 2xA : Một cáchtương tự, ta cũng có xB 0 D 2xB ; xC 0 D 2xC : Suy ra xA0 C xB 0 C xC 0 D 2.xA C xB C xC /:Từ đây, áp dụng bổ đề 1 ta thấy ngay A0 , B 0 , C 0 thẳng hàng khi và chỉ khi A, B, C thẳnghàng.Tiếp theo, ta sẽ xét một mở rộng của mệnh đề 1.Mệnh đề 2 (Mở rộng mệnh đề 1). Khi b D 0; xét hai đường thẳng d1 , d2 : Giả sử di cắt K tại bađiểm Ai , Bi , Ci với i D 1; 2. Khi đó, giao điểm của các đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 vớiđường cong K thẳng hàng. 120Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Chứng minh. Gọi A3 , B3 , C3 tương ứng là giao điểm của các đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2với đường ...