Tính chất nửa liên tục dưới của các tập nghiệm của các bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số

Trong bài báo này, tác giả thiết lập điều kiện đủ cho các tập nghiệm của các bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số có các tính chất ổn định như: tính nửa liên tục dưới và tính nửa liên tục dưới Hausdorff.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tính chất nửa liên tục dưới của các tập nghiệm của các bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham sốTạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyen Van Hung _____________________________________________________________________________________________________________ LOWER SEMICONTINUITY OF THE SOLUTION SETSOF PARAMETRIC GENERALIZED QUASIEQUILIBRIUM PROBLEMS NGUYEN VAN HUNG* ABSTRACT In this paper we establish sufficient conditions for the solution sets of parametric generalized quasiequilibrium problems with the stability properties such as lower semicontinuity and Hausdorff lower semicontinuity. Keyword: parametric generalized quasiequilibrium problems, lower semicontinuity, Hausdorff lower semicontinuity. TÓM TẮT Tính chất nửa liên tục dưới của các tập nghiệm của các bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập điều kiện đủ cho các tập nghiệm của các bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số có các tính chất ổn định như: tính nửa liên tục dưới và tính nửa liên tục dưới Hausdorff. Từ khóa: các bài toán tựa cân bằng tổng quát phụ thuộc tham số, tính nửa liên tục dưới, tính nửa liên tục dưới Hausdorff. 1. Introduction and Preliminaries Let X , Y , Λ, Γ, M be a Hausdorff topological spaces, let Z be a Hausdorff topological vector space, A ⊆ X and B ⊆ Y be a nonempty sets. Let K1 : A× Λ → 2 A , K 2 : A× Λ → 2 A , T : A × A × Γ → 2 B , C : A× Λ → 2 B and F : A × B × A × M → 2 Z be multifunctions with C is a proper solid convex cone values and closed. For the sake of simplicity, we adopt the following notations. Letters w, m and s are used for a weak, middle and strong, respectively, kinds of considered problems. For ubsets U and V under consideration we adopt the notations. (u, v) w U × V means ∀u ∈ U , ∃v ∈ V , (u, v) m U × V means ∃v ∈ V , ∀u ∈ U , (u, v) s U × V means ∀u ∈ U , ∀v ∈ V , ρ1 (U , V ) means U ∩V ≠ ∅ , ρ 2 (U , V ) means U ⊆V , (u, v) wU × V means ∃u ∈ U , ∀v ∈ V and similarly for m, s , * MSc., Dong Thap University 19Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 33 năm 2012_____________________________________________________________________________________________________________ ρ1 (U , V ) means U ∩ V = ∅ and similarly for ρ 2 . Let α ∈ {w, m, s} , α ∈ {w, m, s } , ρ ∈ {ρ1 , ρ 2 } and ρ ∈ {ρ1 , ρ 2 } . We consider thefollowing parametric generalized quasiequilibrium problems. (QEP αρ ): Find x ∈ K1 ( x , λ ) such that ( y, t )α K 2 ( x , λ ) × T ( x , y, γ ) satisfying ρ ( F ( x , t , y, µ ); C ( x , λ )). * We consider also the following problem (QEP αρ ) as an auxiliary problem to(QEP αρ ): * (QEP αρ ): Find x ∈ K1 ( x , λ ) such that ( y, t )α K 2 ( x , λ ) × T ( x , y, γ ) satisfying ρ ( F ( x , t , y, µ );int C ( x , λ )). For each λ ∈ Λ, γ ∈ Γ, µ ∈ M , we let E (λ ) := {x ∈ A | x ∈ K1 ( x, λ )} and let %αρ : Λ × Γ × M → 2 A be a set-valued mapping such that Σ (λ , γ , µ ) andΣαρ , Σ αρ%αρ (λ , γ , µ ) are the solution sets of (QEP ) and (QEP * ), respectively, i.e.,Σ αρ αρ Σαρ (λ , γ , µ ) = {x ∈ E (λ ) | ( y, t )α K 2 ( x , λ ) × T ( x , y, γ ) : ρ ( F ( x , t , y, µ ); C ( x , λ ))}, %αρ (λ , γ , µ ) = {x ∈ E (λ ) | ( y, t )α K ( x , λ ) × T ( x , y, γ ) : ρ ( F ( x , t , y, µ );int C ( x , λ ))}. Σ 2 Clearly Σ%αρ (λ , γ , µ ) ⊆ Σαρ (λ , γ , µ ) . Throughout the paper we assume thatΣαρ (λ , γ , µ ) ≠ ∅ and Σ %αρ (λ , γ , µ ) ≠ ∅ for each (λ , γ , µ ) in the neighborhood of(λ0 , γ 0 , µ0 ) ∈ Λ × Γ × M . By the definition, the following relations are clear: Σ ⊆Σ ⊆Σ and Σ% sρ ⊆ Σ % mρ ⊆ Σ% wρ . sρ mρ wρ The parametric generalized quasiequilibrium problems is more general than manyfollowing problems. (a) If T ( x, y, γ ) = {x}, Λ = Γ = M , A = B, X = Y , K1 = K 2 = K , ρ = ρ 2 , ρ = ρ1 andreplace C ( x, λ ) by − int C ( x, λ ) . Then, (QEP α ρ2 ) and (QEP α ρ1 ) becomes to (PGQVEP)and (PEQVEP), respectively, in Kimura ...