Toán 12: Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Đáp án Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần Phương

Tài liệu "Toán 12: Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Đáp án Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần Phương" gồm các bài tập kèm theo hướng dẫn giải nhằm giúp các bạn xó thể kiểm tra, củng cố lại kiến thức về các bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán 12: Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Đáp án Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần PhươngKhóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Các bài toán về tiếp tuyến của ñồ thị hàm số thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Các bài toán về tiếp tuyến của ñồ thị hàm số. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. Bài 1. Cho hàm số: y = − x 3 + 3 x 2 − 2 (C) a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) b. Tìm trên ñường y = 2 các ñiểm mà từ ñó kẻ ñược tới (C) 3 tiếp tuyến. Giải b. – Lấy M thuộc ñường y = 2 => M(a; 2) - ðường thẳng d ñi qua M với hệ số góc k có phương trình: y = k(x – a) + 2 (*) - ðể d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải có nghiệm: −  x + 3 x − 2 = k ( x − a ) + 2 (1) 3 2  −3 x + 6 x = k (2) 2 Thế (2) vào (1) ta có: − x 3 + 3 x 2 − 2 = ( −3 x 2 + 6 x)( x − a ) + 2 ⇔ 2 x 3 − (3 + 3a ) x 2 + 6ax − 4 = 0 ⇔ ( x − 2)  2 x 2 − (3a − 1) x + 2  = 0 (3) Ta nhận thấy với mỗi nghiệm x thu ñươc từ phương trình (3) thay vào (2) ta sẽ ñược một k và thay k ñó vào (*) ta sẽ ñược một tiếp tuyến. Do ñó ñể từ M kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới (C) thì phương trình (3) phải có 3 nghiệm phân biệt. ⇔ 2 x 2 − (3a − 1) x + 2 = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2.  a < −1  5 5 ∆ = 9a − 6a − 15 > 0 a < −1; a > 2 ⇔ 2 ⇔ 3⇔ Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các bài toán liên quan ñến khảo sát hàm số  2x −1  b. – Lấy M ∈ (C ) ⇒ M  xo; o  , xo ≠ 1  xo − 1  2 xo − 1 - Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = y ( xo ).( x − xo ) + xo − 1 −1 ⇔ y= .( x − xo ) + 2 xo − 1 ( xo − 1) 2 ⇔ x + ( xo − 1)2 y − 2 xo2 + 2 xo − 1 (d) - Khoảng cách từ I(1, 2) ñến tiếp tuyến (d) bằng 2. 2 xo − 1 xo + ( xo − 1)2 . − 2 xo2 + 2 xo − 1 xo − 1 2 − 2 xo ⇔ = 2⇔ = 2 1 + ( xo − 1) 1 + ( xo − 1) 4 4  xo = 0 ⇔ 2 − 2 xo = 2. 1 + ( xo − 1)4 ⇔ ( 2 − 2 xo ) = 2 1 + ( xo − 1) 4  ⇔  2  xo = 2 => Các tiếp tuyến cần tìm: x + y – 1 = 0 và x + y – 5 = 0. Bài 3. Cho hàm số: y = x 3 − ( m + 1) x 2 + (m − 1) x + 1 (1) a. Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 1. b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt A(1, 0), B, C sao cho các tiếp tuyến tại B và C song song với nhau. Giải b. – ðể ñồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 ñiểm phân biệt A, B, C thì phương trình: x3 − ( m + 1) x 2 + ( m − 1) x + 1 = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt. ⇔ ( x − 1) ( x 2 − mx − 1) = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt. ⇔ x 2 − mx − 1 = 0 (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x ≠ 1 ∆ = m 2 + 4 > 0 m2 + 4 > 0 ∀m ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m ≠ 0 (1) 12 − m.1 − 1 ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0 - Gọi hoành ñộ của 2 giao ñiểm B và C là x1, x2 (x1, x2 là nghiệm của (*)) ðể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại B và C song song ta phải có: y’(x1) = y’(x2) ⇔ 3 x12 − 2(m + 1) x1 + m − 1 = 3 x22 − 2(m + 1) x2 + m − 1 ⇔ ( x1 − x2 ) [3( x1 + x2 ) − 2(m + 1) ] = 0 2(m + 1) ⇔ 3( x1 + x2 ) = 2(m + 1) ⇔ ( x1 + x2 ) = ...