Toán cao cấp 1-Bài 3: Phép tính tích phân

BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂNMục tiêu• Nắm được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • Làm được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán cao cấp 1-Bài 3: Phép tính tích phân Bài 3: Phép tính tích phân BÀI 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Mục tiêu • Nắm được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng. • Làm được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định. • Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.Thời lượng Nội dung • Bài này giới thiệu với các bạn các khái niệm tíchBạn nên dành mỗi tuần khoảng 90phút để đọc kỹ lý thuyết và khoảng phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy120 phút trong vòng hai tuần để rộng và các phương pháp tính các loại tích phânlàm bài tập để nắm vững nội dung này.bài học này. • Phép tính tích phân là một trong hai phép tính cơ bản của giải tích, có nhiều ứng dụng trong bài toán kỹ thuật, kinh tế…Hướng dẫn học• Bạn nên đọc kỹ lý thuyết để nắm được các khái niệm tích phân bất định, tích phân xác định và các loại tích phân suy rộng.• Bạn nên làm càng nhiều bài tập càng tốt để thành thạo phuơng pháp tính các loại tích phân đó. 43 Bài 3: Phép tính tích phân{{Ơ3.1. Tích phân bất định3.1.1. Khái niệm về tích phân bất định3.1.1.1. Nguyên hàm Bài này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f (x) thì có tồn tại hay không một hàm số F(x) có đạo hàm bằng f (x) ? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x) như vậy. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên một khoảng D nếu: F (x) = f (x), ∀x ∈ D , hay dF(x) = f (x)dx . Ví dụ 1: Vì: (sin x) = cos x, ∀x ∈ R nên sin x là nguyên hàm của hàm số cos x trên R . ⎛ 1⎞ 1 2x Vì: ⎜ arctg x + = + , ∀x ≠ ±1 2⎟ 1− x ⎠ 1+ x (1 − x 2 ) 2 2 ⎝ 1 1 2x trên R \ {±1} . nên: arctg x + + là một nguyên hàm của hàm số 1− x 1 + x (1 − x 2 ) 2 2 2 Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó. Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D thì: Hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) , với C là một hằng số bất kỳ. Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều viết được dưới dạng F(x) + C , trong đó C là một hằng số. Chứng minh: Giả sử C là một hằng số bất kỳ, ta có: ( F(x) + C ) = F (x) = f (x) với mọi x ∈ D . Theo định nghĩa F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng D. Ngược lại, giả sử ϕ( x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f (x) trên khoảng D. Ta có: [ F(x) − ϕ(x)] = F(x) − ϕ (x) = f (x) − f (x) = 0, ∀x ∈ D . Suy ra F(x) − ϕ(x) nhận giá trị hằng số trên khoảng D: F(x) − ϕ(x) = −C ⇔ ϕ(x) = F(x) + C, ∀x ∈ D . Như vậy biểu thức F(x) + C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x) , mỗi hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm.44 Bài 3: Phép tính tích phân3.1.1.2. Tích phân bất định Định nghĩa: Tích phân bất định của một hàm số f (x) là họ các nguyên hàm F(x) + C ; với x ∈ D ; trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số bất kỳ. Tích phân bất định của f (x)dx được ký hiệu là: ∫ f (x)dx . Biểu thức f (x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f được gọi là hàm số dưới dấu tích phân. Vậy: ∫ f (x)dx = F(x) + C , với F(x) là nguyên hàm của f (x) . Ví dụ 2: ∫ cos xdx = sin x + C ∫ e dx = e + C . x x3.1.1.3. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định ⎡ f (x)dx ⎤ = f (x) hay d f (x)dx = f (x)dx ⎣∫ ∫ ⎦ ∫ F (x)dx = F(x) + C hay ∫ dF(x) = F(x) + C ∫ af (x)dx = a ∫ f (x)dx , ( a là hằng số khác 0) ∫ [f (x) ± g(x)] dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx . Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung: ∫ [αf (x) + βg(x)] dx = α ∫ f (x)dx + β∫ g( ...