Toán cao cấp 2- Bài 7: Toán tử tuyến tính

Nắm được khái niệm về Toán tử tuyến tính. Nắm được khái niệm về Trị riêng và véc tơ riêng. Nắm được phương pháp chéo hóa ma trận. Giải được các bài toán tương ứng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán cao cấp 2- Bài 7: Toán tử tuyến tính Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng Bài 7: TOÁN TỬ TUYẾN TÍNHMục tiêu Nội dung• Nắm được khái niệm về Toán tử tuyến tính. • Đối với toán tử tuyến tính người ta quan tâm tới ma trận biểu diễn nó. Việc tìm• Nắm được khái niệm về Trị riêng và véc tơ các không gian con bất biến một chiều là riêng. cực kỳ quan trọng. Tìm lời giải cho bài• Nắm được phương pháp chéo hóa ma trận. toán này là nguyên nhân đưa đến khái• Giải được các bài toán tương ứng. niệm trị riêng và véc tơ riêng. • Toán tử tuyến tính • Trị riêng và véc tơ riêng • Vấn đề chéo hóa ma trận.Thời lượngBạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT +8 giờ làm bài tập. 89 Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêngBài toán mở đầu : Mô hình kinh tế độngTrong Mô hình Lêonchiep, cũng như trong mô hình “chi phí – sản xuất” khác, dự trữ trong mỗingành được coi là tỷ lệ với cường độ sử dụng sản phẩm trong ngành đó. Ta sẽ xét dự trữ tổng củanền kinh tế. Viết tập các hệ số yêu cầu dự trữ ki , i = 1, 2,..., n dưới dạng ma trận đường chéo K,véc tơ xác định tổng chi phí sản phẩm bằng Ax, Như vậy yêu cầu dự trữ của hệ kinh tế, cần thiếtđể sản xuất tổng sản phẩm x được cho bởi véc tơ KAx.Cho nên nếu ở thời điểm t cần sản xuất x(t) sản phẩm thì dự trữ s(t) ở thời điểm đó cần phải đủđảm bảo mức sản xuất đó, tức là cần phải có quan hệ KAx(t) ≤ s(t)Giả sử y là véc tơ sản phẩm phân loại, ta có X = (I – A)–1 yTừ hai hệ thức trên ta có KA (I – A)–1 y(t) ≤ s(t) (*)Quan hệ này là giới hạn nền tảng của mô hình “chi phí – sản xuất” có các dự trữ.Tiếp theo có thể coi rằng mọi cụm sản phẩm phân loại gồm có hai phần. Phần một y′(t) là véc tơsản phẩm của thời điểm hiện tại, phần thứ hai là cụm Гs(t), đó là gia số về dự trữ s(t). Như vậy tacó hai quan hệ y′(t) = y′(t) + Γs(t) s(t + 1) = s(t) + Γs(t)Bây giờ ta giả thiết rằng nhu cầu mỗi sản phẩm là không đổi theo thời gian về sản phẩm thuần túycủa nó. Giả sử γi là tỷ số của nhu cầu so với sản phẩm thuần túy thứ i ( 0 < γi < 1 ). Ta gọi γi làthiên hướng tiêu thu sản phẩm i. Lập ma trận đường chéo Г là ma trận thiên hướng tiêu thụ, ta có y′(t) = Γy(t) Γs(t) = (I − Γ)y(t) y(t) = (I − Γ) −1 Γs(t) ( **)Ma trận (I – Г) là ma trận đường chéo với đường chéo dương thực sự vì (0 < γi < 1), cho nên(I – Г)–1 luôn tồn tại, các phần tử đường chéo của ma trận đó là 1/ (1 – γi ).Từ hai hệ thức (*) và (**) ta có KA (I – A)–1 (I – Г)–1 Гs(t) ≤ s(t)Ký hiệu K* = K A (I – A)–1 (I – Г)–1 ta được K* Гs(t) ≤ s(t)Xét điều kiện đảm bảo tăng cân bằng cân đối tức là tăng sao cho quan hệ γ = Гsi (t) / si (t) giốngnhau đối với mọi sản phẩm và ít nhất có một dự trữ của một sản phẩm được sử dụng toàn bộ(tức là giới hạn nền tảng trở thành đẳng thức đối với ít nhất một sản phẩm). Đại lượng γ gọi làtốc độ tăng của hệ thống.Như vậy bài toán dẫn đến việc giải hệ bất đẳng thức đặc biệt K* Гs(t) ≤ (1/ γ) Гs(t).Người ta chứng minh được rằng nghiệm duy nhất của hệ trên là (1/ γ*) = γ*, Гs(t) = x* trong đóγ* là nghiệm đặc trưng lớn nhất về mô đun, x* là véc tơ riêng tương ứng của ma trận A.90 Bài 7: Toán tử tuyến tính. Trị riêng và véc tơ riêng7.1. Toán tử tuyến tính7.1.1. Định nghĩa 7.1 Một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ V lên chính nó gọi là một toán tử tuyến tính trên V. 2 2 → Ví dụ: Ánh xạ f: xác định bởi f(x; y) = (x + y; x – y) là một toán tử tuyến tính. n Một toán tử tuyến tính trong không gian được xác định một cách duy nhất bởi một ma trận vuông A cấp n × n. Thật vậy, đây là trường hợp riêng của ánh xạ tuyến tính với hai cơ sở {e1, e2,..., en} và {f1, f2,..., fn}. ...