Toán cao cấp C1 - Chương 3 Hàm số nhiều biến số

1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số D là một tập hợp trong 2 , người ta gọi ánh xạ f : D , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực x, y
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán cao cấp C1 - Chương 3 Hàm số nhiều biến số CHƯƠNG III. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ §1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Định nghĩa hàm số nhiều biến số 1.1. 2 D là một tập hợp trong , người ta gọi ánh xạ f : D , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực x, y D một số thực duy nhất z , ký hiệu là f x, y là hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu f : x, y z f x, y D được gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp fD z z f x, y , x, y D gọi là miền giá trị của hàm số f . 2 Chú ý: Theo định nghĩa trên thì miền xác định của f thuộc , còn miền giá trị của nó thuộc . Hàm số n biến số f x 1 , x2 ,..., xn được định nghĩa tương tự. Miền xác định 1.2. Nếu người ta cho hàm số hai biến số bởi biểu thức z f x, y mà không nói gì về miền xác định của nó thì miền xác định của hàm số đó được hiểu là tập hợp những cặp x, y sao cho biểu thức f x, y có nghĩa. 2 Ví dụ 1: Hàm số z 2 x 3 y 5 xác định với mọi cặp x, y , miền xác định của nó là toàn bộ mặt phẳng. 1 x2 y 2 xác định khi 1 x 2 y2 0 hay x 2 y 2 1 , miền xác định Ví dụ 2: Hàm số z của nó là hình tròn đóng, tâm O , bán kính I ( hình 1). Ví dụ 3: Hàm số z ln x y 1 được xác định khi x y 1 0 hay x y 1 , miền xác định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng x y 1 (hình 2). y y 1 x x O O 1 1 ( hình 1) (hình 2) Giới hạn của hàm số hai biến số 1.3. 2 Ta nói rằng điểm M n xn , yn dần tới diểm M 0 xo , y0 trong và viết M n M0 (hay xn , yn x0 , y0 )khi n nếu 2 2 lim xn x0 yn y0 0 n Cho hàm số f M f x, y xác định trong miền D chứa điểm M 0 x0 , y0 , có thể trừ điểm M 0 . Ta nói rằng L là giới hạn của f x, y khi điểm M x, y dần tới điểm M 0 là L hay lim f M L. lim f x, y x, y x0 , y0 M M0 xy Ví dụ 4: Tính f x, y với f x, y lim 2 y2 x, y 0,0 x Giải: 2 Hàm số f x, y xác định trên \ 0, 0 . x Vì 0, 0 , nên 1, x, y x2 y2 x f x, y y y, x, y 0, 0 2 y2 x Do đó với mọi dãy dần tới 0, 0 , ta đều có 0. xn , ...