TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ ĐỀ 1

Phương pháp Gauss là phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ( các bạn xem lại các phép biến đổi sơ cấp trên dòng là gì? ) của ma trận mở rộng (I) tức là (A|B) về ma trận bậc thang và sau đó giải hệ phương trình tương ứng của ma trận bậc thang đó từ dưới lên. Như đã trình bày ở phần 1 ma trận, ứng dụng của hạng ma trận là để giải hệ phương trình tuyến tính. Giả sử biến đổi ma trận mở rộng (A|B) về dạng ma trận bậc...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ ĐỀ 1TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] { Ma trận hệ số: A= , ma trận ẩn số X = , và B = Phương trình A.X = B . = . 2. PHƢƠNG PHÁP GAUSS - GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. Phương pháp Gauss là phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ( các bạn xem lại các phép biến đổi sơ cấp trên dòng là gì? ) của ma trận mở rộng (I) tức là (A|B) về ma trận bậc thang và sau đó giải hệ phương trình tương ứng của ma trận bậc thang đó từ dưới lên. Như đã trình bày ở phần 1 ma trận, ứng dụng của hạng ma trận là để giải hệ phương trình tuyến tính. Giả sử biến đổi ma trận mở rộng (A|B) về dạng ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’) thì: o Hạng của A bằng hạng của A’ o Hạng của B bằng hạng của B’ o Đặc biệt hạng của ma trận mở rộng (A|B) bằng hạng của ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’) ( các bạn xem lại tính chất hạng của ma trận không đổi khi dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ). Như vậy việc xem xét hạng của ma trận A và hạng của ma trận mở rộng (A|B) rất dễ dàng thông qua việc xét hạng của ma trận A’ và hạng của ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’). Sau khi biến đổi và tìm hạng của ma trận A’ ( tương ứng với hạng của ma trận A ) và ma trận (A’|B’) ( tương ứng với hạng của ma trận (A|B) ), thì số nghiệm của phương trình A.X = B như sau:  Nếu R(A|B) # RA thì hệ vô nghiệm.  Nếu R(A|B) = RA = R thì hệ có nghiệm như sau: o Nếu R(A|B) = RA = số ẩn n thì hệ có 01 nghiệm duy nhất. o Nếu R(A|B) = RA < số ẩn n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào (n –R) tham số. Chú ý rằng nếu chúng ta nên dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, bởi vì nếu chúng ta biến đổi trên cột sẽ dẫn đến thứ tự các biến số (x,y,z) thay đ ổi theo. Mục đích trong tài liệu này chúng ta lúc nào cũng dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng chứ không thực hiện biếnBiên tập : Tutkkt - Luyện Thi Cao Học TENs – 36 Trần Cao Vân Trang 21TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] đổi trên cột là như thế. Các bạn thử chiêm nghiệm lại xem việc biến đổi sơ cấp trên cột có phải là như thế không? Sẽ làm thay đổi trật tự của biến dẫn đến khó khăn khi biện luận phương trình! Các bạn đã nắm được cách giải, bây giờ chúng ta lấy ví dụ để các bạn có thể hiểu rõ hơn về cách giải. Ví dụ 1: cho hệ phương trình sau: { Tìm x,y,z. Ta có ma trận mở rộng (A|B) = Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận (A|B) về dạng bậc thang. Bước 1: Dòng 2: dòng 2 trừ 2 lần dòng 1. o Dòng 3: dòng 3 trừ 4 lần dòng 1. o Bước 2: Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 2. o Như vậy, thông qua 2 bước biến đổi sơ cấp như trên, ta được ma trận bậc thang mở rộng (A’|B’) như sau: (A’|B’) = Hạng của ma trận (A’|B’) cũng là hạng của ma trận (A|B), hạng của ma trận A cũng là hạng của ma trận A’ Ta có R(A|B) = RA = 3 = số ẩn của hệ ( 03 ẩn x,y,z ). Như vậy, hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất. Ta giải hệ phương trình A’.X = B’ để tìm nghiệm. Hệ A’.X = B’ có dạng như sau: { Giải ngược từ dưới lên thì được nghiệm z = 2, y = -2, x = -1 Ví dụ 2: cho hệ phương trình sau:Biên tập : Tutkkt - Luyện Thi Cao Học TENs – 36 Trần Cao Vân Trang 22TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] { Tìm x,y,z. Ta có ma trận mở rộng (A|B): (A|B) = Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận mở rộng (A|B) về dạng bậc thang. Chú ý: các bạn có nhìn thấy phần tử a11 = -2 không? Để tiện giải chúng ta phải đưa làm sao cho a11 là số 1. Với bất kỳ bài toán nào giải hệ phương trình thì phải đưa a11 trở thành số 1 nếu nó là một số khác ( đặc biệt quan trọng ). Vậy ta làm như sau: ( ở đây chúng tôi chỉ ghi các bước làm, các bạn phải tự mình thực hành viết ra giấy nháp để thấy rõ hơn, các bạn hãy làm thay chúng tôi, Please !!!). Bước 1: Dòng 1: thay chỗ của dòng 1 và dòng 2 với nhau. o Bước 2: Dòng 2: dòng 2 cộng 2 lần dòng 1. o Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 1. o Bước 3: Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 2. o Sau khi thực hiện các phép biến đổi như trên, chúng ta thu được một ma trận bậc thang mở rộng như sau: (A’|B’) = , R(A|B) = 3 # RA = 2 do vậ y hệ phương trình đ ...