[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 2

Trong nửa nhóm nhân (hoặc cộng) khi thực hiện phép nhân (phép cộng) đối với nhiều phần tử thì ta có thể nhóm các nhân tử (hạng tử) theo mọi cách mà chỉ cần giữ nguyên thứ tự. Hệ quả. Cho a1, a2, . . . , an là những phần tử của nửa nhóm nhân X.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 2 c¸c tËp hîp sè n m n ∑ ai = ∑ ai + ∑a với mọi m, 1 ≤ m < n. j i =1 i =1 j= m +1 Nhận xét. Trong nửa nhóm nhân (hoặc cộng) khi thực hiện phép nhân (phép cộng) đối với nhiều phần tử thì ta có thể nhóm các nhân tử (hạng tử) theo mọi cách mà chỉ cần giữ nguyên thứ tự. Hệ quả. Cho a1, a2, . . . , an là những phần tử của nửa nhóm nhân X. Khi đó ta có: ⎡k ⎤n n m ∏ a i = ⎢∏ a i . ∏ a i ⎥ ∏ a e ⎣ i =1 ⎦ e = m +1 i =1 j= k +1 ⎡ ⎤ k m n ∏a ⎢∏ a . ∏ a = ⎥ i j e ⎣ j= k +1 ⎦ i =1 e = m +1 với mọi k, m, 1 ≤ k < m < n. Chứng minh: Đẳng thức thứ hai suy ra từ tính chất kết hợp của phép nhân trong nửa nhóm X. Theo định lí 2.1 ta có n m n ∏ a i = ∏ a i . ∏ a e 1 ≤ m < n. (1) i =1 i =1 e = m +1 Ta lại có m k m ∏ a = ∏ a .∏ a 1 ≤ k < m. (2) i i j i =1 i =1 j= k +1 Thay (2) vào (1) ta được: ⎡k ⎤n n m ∏ a i = ⎢∏ a i . ∏ a j ⎥ . ∏ a e . ⎣ i =1 j= k +1 ⎦ e = m +1 i =1 Định lí 2.2. Cho a1, a2, . . . , an (n ≥ 2) là những phần tử của nửa nhóm giao hoán X. Khi đó, với mọi hoán vị (j1, j2, . . . , jn) của {1, 2, . . . , n} ta có: n ∏a = a j1 .a j2 ...a jn . i i =1 Chứng minh: Với n = 2, tính chất này đúng vì a1a2 = a2a1. k ∏a Giả sử tính chất này đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có = a j1 .a j2 ...a jk với (j1, j2, . . . , jk) là i i =1 một hoán vị bất kì của {1, 2, . . . , k}. Với n = k + 1, gọi (j1, j2, . . . , jk+1) là một hoán vị bất kì của {1, 2, . . . , k, k + 1}.20 c¸c tËp hîp sè Nếu jk+1 = k + 1 thì: aj1 aj 2 ...aj k aj k+1 = (aj1 aj 2 ...aj k )ak +1 k ∏ a .a = (Theo gi¶ thiÕ quy n¹ p) t k +1 i i =1 k +1 ∏a . = i i =1 Nếu jk+1 < k + 1, giả sử jr+1 = k + 1 ta có: = a j ...a j a j ...a j ...