[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 4

Tập các điểm trên đoạn thẳng AB (A ≠ B) là một tập vô hạn. Thật vậy, gọi C là trung điểm của AB khi đó [AC] ⊂ [AB] và [AC] ≠ [AB], đồng thời có thể chỉ ra rằng [AC] ~ [AB].
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 4 tập hợp số các3) Tập các điểm trên đoạn thẳng AB (A ≠ B) là một tập vô hạn. Thật vậy, gọi C là trung điểmcủa AB khi đó [AC] ⊂ [AB] và [AC] ≠ [AB], đồng thời có thể chỉ ra rằng [AC] ~ [AB].Định lí 1.2. Tập hợp tương đương với tập hữu hạn là một tập hữu hạn.Chứng minh:Giả sử A là một tập hợp hữu hạn và tập hợp B tương đương với tập hợp A. Nếu B không làtập hữu hạn thì B tương đương với một tập con thực sự B của B.Vì A ~ B nên có song ánh f: B → A. Khi đó f(B) là tập con thực sự của A. Thật vậy, vì B ≠ Bnên tồn tại b ∈ B và b ∉ B. Khi đó f(b) ∈ A và f(b) ∉ f(B). Vì A và B tương đương với nhau, Bvà B tương đương với nhau, B và f(B) tương đương với nhau nên A và f(B) tương đương vớinhau. Vậy ta có A tương đương với tập con thực sự f(B) của A. Trái với giả thiết A là tập hợphữu hạn.Vậy B là tập hữu hạn.Định lí 1.3. Tập con của một tập hợp hữu hạn là một tập hữu hạn.Chứng minh:Giả sử A là một tập hợp hữu hạn và B là một tập con của A. Nếu B không là tập hợp hữu hạnthì có tập con thực sự B của B, tương đương với B. Khi đó ta có song ánh g: B → B.Đặt A = (A B) ∪ B. Vì B là tập con thực sự của B nên A là tập con thực sự của A.Ta có ánh xạ f được xác định như sau: f: A → A ⎧a, a ∈ A B a a f (a) = ⎪ ⎨ ⎪g(a), a∈ B ⎩Do g là song ánh nên f cũng là song ánh. Suy ra A ~ A, trái với giả thiết A là tập hữu hạn.Vậy B là tập hữu hạn.2.1.2. Bản số2.1.2.1. Khái niệm về bản sốĐể mở rộng khái niệm số phần tử của một tập hữu hạn, Cantor đã đưa ra khái niệm bản sốcủa một tập hợp để đặc trưng cho “số lượng” các phần tử của tập hợp đó.Mỗi tập hợp có một bản số. Bản số của tập hợp A kí hiệu là |A| hoặc cardA; bản số của hai tậphợp A và B là bằng nhau, |A| = |B|, khi và chỉ khi A và B tương đương với nhau, nghĩa là cómột song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.Ví dụ 1.3:| ∅ | ≠ |{x}|; 59 tập hợp số các |{x, y}| ≠ |{x, y, z}|. Ta đặt | ∅ | = 0 và |{x}| = 1. Rõ ràng 0 ≠ 1 vì tập rỗng ( ∅ ) và tập gồm một phần tử {x} không tương đương với nhau. 2.1.2.2. Quan hệ thứ tự giữa các bản số Giả sử a và b là hai bản số. Khi đó, tồn tại các tập hợp A và B sao cho a = |A| và b = |B|. Định nghĩa 1.2. Bản số a được gọi là bé hơn hay bằng bản số b, kí hiệu là a ≤ b, nếu và chỉ nếu tồn tại một đơn ánh f từ A đến B. Điều này nghĩa là A tương đương với một tập con của B. Định nghĩa trên đây không phụ thuộc vào việc chọn các tập A, B sao cho a = |A| và b = |B|. Thật vậy, nếu |A| = |A| = a và |B| = |B| = b thì tồn tại các song ánh g: A → A và h: B → B. Nếu f là đơn ánh từ A đến B thì f = hfg–1 cũng là một đơn ánh từ A đến B và ngược lại. A ⎯f → B ⎯ g h A ⎯f → B ⎯ Tính chất 1.2: Rõ ràng quan hệ ≤ có các tính chất sau: 1) Với mọi bản số a, a ≤ a. 2) Với mọi bản số a, b, c nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c (do hợp thành của hai đơn ánh là một đơn ánh). 3) Với hai bản số a và b khi đó hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a. Nếu đồng thời có a ≤ b và b ≤ a thì a = b (dựa vào định lí Cantor). Như vậy, quan hệ ≤ giữa các bản số có các tính chất phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng. 2.1.2.3. Phép cộng các bản số Định lí 1.4. Cho A, A, B và B là những tập hợp sao cho A ~ A, B ~ B, A ∩ B = ∅ và A ∩ B = ∅ khi đó A ∪ B ~ A ∪ B. Chứng minh: Giả sử f: A → A và g: B → B là hai song ánh, khi đó ta có ánh xạ h: A ∪ B → A ∪ B được xác định bởi60 tập hợp số các ⎧f (x), x ∈ A h(x) = ⎪ ⎨ ⎪g(x), x ∈ B ⎩là một song ánh. Vì vậy, nếu A ~ A, B ~ B, A ∩ B = ∅ và A ∩ B = ∅ thì A ∪ B ~ A ∪B.Định lí 1.5. Nếu a và b là hai bản số thì tồn tại hai tập A và B sao cho a = |A|, b = |B| màA ∩ B = ∅ .Chứng minh:Giả sử A và B là hai tập hợp sao cho a = |A| và b = |B|. Đặt A = A × {x} và B = B × {y} với x ≠y. Rõ ràng A ~ A và B ~ B đồng thời A ∩ B = ∅ . Vì A ~ A, B’ ~ B nên |A| = |A| = a và |B| = | ...