[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 5

Nếu trong thuật toán Ơclit để tìm ước chung lớn nhất của a và b ta nhân cả hai vế của mỗi đẳng thức với k thì được thuật toán Ơclit để tìm ước chung lớn nhất của ka và kb. Số dư khác 0 cuối cùng của thuật toán này là krn. Vậy UCLN(ka, kb) = kUCLN.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 5 tập hợp số các ab d (2) Nếu c là một ước chung của a và b, thì UCLN( , ) = cc c Chứng minh: (1) Nếu trong thuật toán Ơclit để tìm ước chung lớn nhất của a và b ta nhân cả hai vế của mỗi đẳng thức với k thì được thuật toán Ơclit để tìm ước chung lớn nhất của ka và kb. Số dư khác 0 cuối cùng của thuật toán này là krn. Vậy UCLN(ka, kb) = kUCLN(a, b). ab d (2) Bây giờ, ta chứng minh nếu c là ước chung của a và b thì UCLN( , ) = . Thật vậy ta cc c a b đặt a ′ = và b′ = và d = UCLN(a, b). Suy ra cd = UCLN(ca, cb) = UCLN(a, b) = d. c c d Vậy d = . c Định lí 3.4. Cho a, b, c là ba số tự nhiên sao cho UCLN(a, b) = 1. Khi đó UCLN(ac, b) = UCLN(c, b). Chứng minh: Giả sử d là một ước chung của ac và b. Khi đó d là ước chung của ac và bc. Vì vậy d là ước của UCLN(ac, bc). Nhưng UCLN(ac, bc) = c.UCLN(a, b) = c.1 = c. Vậy d là ước chung của b và c, do đó d là ước của UCLN(b, c). Đảo lại, nếu d là một ước chung của b và c thì d cũng là ước chung của ac và b. Do vậy d là ước của UCLN(ac, b). Vậy UCLN(ac, b) = UCLN(c, b). Ta định nghĩa ước chung lớn nhất của n số tự nhiên như sau: 2.3.2.4. Định nghĩa Số tự nhiên d được gọi là ước chung lớn nhất của các số tự nhiên a1, a2, …, an nếu d là số lớn nhất trong các ước chung của các ai, i = 1, 2, …, n. Chú ý. Cho các số tự nhiên khác không: a1, a2, …, an bao giờ cũng tồn tại ước chung lớn nhất của chúng. 2.3.2.5. Các số nguyên tố cùng nhau Định nghĩa 3.2. Hai số tự nhiên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu UCLN(a, b) = 1. Các số tự nhiên a1, a2, …, an được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng là 1. Các số a1, a2, …, an được gọi là nguyên tố sánh đôi nếu các số này đôi một nguyên tố cùng nhau.78 tập hợp số cácVí dụ 3.3:Các số 3, 6, 16 là ba số nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên tố sánh đôi.Các số 3, 8, 25 là ba số nguyên tố sánh đôi.Tính chất 3.2.Cho ba số tự nhiên a, b và c.10) Nếu a nguyên tố cùng nhau với b và nguyên tố cùng nhau với c thì a nguyên tố cùng nhauvới bc.Từ tính chất 10) suy ra rằng nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì với mọi số tự nhiên m và n tacũng có am và bn nguyên tố cùng nhau.20) Nếu a nguyên tố cùng nhau với b, và a là ước của bc thì a là ước c.30) Giả sử d là một ước chung của hai số tự nhiên a và b khác 0, d = UCLN(a, b) khi và chỉ abkhi UCLN( , ) = 1. dd2.3.3. Bội chung nhỏ nhất2.3.3.1. Định nghĩaCho a là một số tự nhiên khác 0. Tập hợp các bội của a là tất cả các số tự nhiên có dạngma, m ∈ N.Giả sử a1, a2, …, an là những số tự nhiên khác 0. Số tự nhiên b được gọi là bội chung của cácai, i = 1, 2, …, n nếu b là bội của ai với mọi i = 1, 2, …, n.Đặt B là tập hợp các bội chung của a1, a2, …, an. Do đó B có số bé nhất khác 0. Số bé nhất đóđược gọi là bội chung nhỏ nhất của a1, a2, …, an. Kí hiệu là BCNN(a1, a2, …, an).Ví dụ 3.4:BCNN(2, 7, 16) = 112.2.3.3.2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất abĐịnh lí 3.5. Với hai số tự nhiên a, b khác 0 ta có: BCNN(a, b) = . UCLN (a, b)Chứng minh:Đặt d = UCLN(a, b). Ta có a = da1; b = db1. Khi đó a1 và b1 nguyên tố cùng nhau. ab ab adb1Đặt m = . Ta cần chứng minh m = BCNN(a, b). Trước hết m = = = ab1 và d d d da b ab = 1 = a1b. Từ đó suy ra m là bội chung của a và b.m= d d 79 tập hợp số các Μ Giả sử M là một bội chung bất kì của a và b. Như vậy M = ac. Vì M chia hết cho b nên ...