Toán học lớp 10: Áp dụng mệnh đề vào suy luận Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Toán học lớp 10: Áp dụng mệnh đề vào suy luận Toán học - Thầy Đặng Việt Hùng" cung cấp kiến thức lý thuyết và 1 số bài tập ví dụ kèm theo hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và bổ sung kiến thức đạt hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán học lớp 10: Áp dụng mệnh đề vào suy luận Toán học - Thầy Đặng Việt HùngKhóa h c TOÁN 10 – Th yNG VI T HÙNGBài gi ng sô 4:Facebook: LyHung95ÁP D NG M NHI. KI N TH C CƠ B NVÀO SUY LU N TOÁN H Cnh lí là m t kh ng nh úng, thông thư ng có d ng ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) Có hai phương pháp ch ng minh nh lí cơ b n: +) Phương pháp tr c ti p: T x ∈ X, P(x) úng r i l n lư t suy ra Q(x) úng. +) Phương pháp gián ti p: Dùng phương pháp ph n ch ng. Ta bi t r ng m nh ∀x ∈ X , P ( x ) ⇒ Q ( x ) sai khi P(x) úng và Q(x) sai. ch ng minh ph n ch ng ta th c hi n như sau - gi s t n t i xo thu c X sao cho P(xo) úng và Q(xo) sai. Khi ó m nh ban u sai. - Dùng các phép l p lu n d n n i u gi s trên b mâu thu n. Chú ý: +) Bi n i tương ương là m t cách ch ng minh khác quen thu c c a nh lí thay vì ch ng minh kh ng nh P úng, ta bi n i tương ương v m t kh ng nh Q úng, do ó P úng. +) D ng s nguyên thư ng g p: - s n là s ch n khi n = 2k, (t c là n chia h t cho 2). - s n là s l khi n = 2k + 1. - s n chia h t cho 3 khi n = 3k. T ng quát, n chia h t cho a khi n = a.k - s n không chia h t cho 3 khi n = 3k + 1 ho c 3k + 2, vi t g n là n = 3k ± 1. - s n không chia h t cho 5 ư c vi t g n là n = 5k ± 1; n = 5k ± 2. II. CÁC VÍ D I N HÌNH Các ví d ch ng minh tr c ti p: Ví d 1: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ta có a) N u n là s l thì n3 l . b) N u n chia h t cho 3 thì n(n + 1) chia h t cho 6. Hư ng d n gi i: a) Do n là s l nên n = 2k + 1.3 k′Khi ó n3 = ( 2k + 1) = 8k 3 + 12k 3 + 6k + 1 = 2 ( 4k 3 + 6k 2 + 3k ) + 1 = 2k ′ + 1V y n3 là s l . b) Do n chia h t cho 3 nên n = 3k v i k là m t s nguyên. Do ta chưa th xác năng x y ra. TH1: k là s ch n, t c là k = 2m  n = 3k = 3.2m = 6m → Khi ó n ( n + 1) = 6m. ( 6m + 1) = 6. ( 6m 2 + m )  n 6 →nh ư c k ch n hay l , nên có hai khKhi ó n ( n + 1) = ( 6m + 3) .( 6m + 3 + 1) = ( 6m + 3) .( 6m + 4 ) = 3( 2m + 1) .2.( 3m + 2 ) = 6 ( 2m + 1)( 3m + 2 )  n 6 → Ví d 2: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i s chính phương luôn ư c bi u di n d ng 4k ho c 4k + 1. Hư ng d n gi i: G i n là s chính phương. Khi ó n có th là s ch n ho c s l .TH2: k là s l , t c là k = 2m + 1  n = 3k = 3.( 2m + 1) = 6m + 3 →- N u n l , gi s n = ( 2m + 1) = 4m 2 + 4m + 1 = 4 ( m 2 + m ) + 1 = 4k + 12- N u n ch n, gi s n = ( 2m ) = 4m 2 = 4k2V y ta ư c i u ph i ch ng minh. Ví d 3: [ VH]. Ch ng minh r ng v i m i x, y ta luôn có a) x 2 − xy + y 2 + 1 > 0b) 4 x 2 + 4 y 2 + 6 x + 3 ≥ 4 xyHư ng d n gi i:y  3y  a) Ta có x 2 − xy + y 2 + 1 =  x −  + + 1 > 0, ∀x, y ∈ R. 2 4 22b) Ta có 4 x 2 + 4 y 2 + 6 x + 3 − 4 xy = ( x 2 − 4 xy + 4 y 2 ) + 3 x 2 + 6 x + 3 = ( x − 2 y ) + 3 ( x + 1) ≥ 0, ∀x, y ∈ R2 2Tham gia khóa TOÁN 10 t i www.Moon.vncó s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!Khóa h c TOÁN 10 – Th yNG VI T HÙNG ch ng minh:Facebook: LyHung95Các ví d s d ng phương pháp ph n ch ngVí d 1: [ VH]. Cho s t nhiên n. Ch ng minh r ng a) n u n2 là s ch n thì n ch n. b) N u n2 chia h t cho 5 thì n chia h t cho 5. Hư ng d n gi i: Ta bi t r ng v i m nh n u P thì Q ch sai khi P úng, Q sai. a) Gi s n là s l và n2 là s ch n.2Do n là s l nên n = 2k + 1  n 2 = ( 2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 = 2 ( 2k 2 + 2k ) + 1 = 2k ′ + 1 →nh sai, t ó m nh ã cho là úng, hay nh líTa th y n2 là s l , trái v i gi thi t ph n ch ng. V y m nh ph ư c ch ng minh. b) Gi s n không chia h t cho 5, khi ó n = 5k ± 1; n = 5k ± 2.2V i n = 5k ± 1  n 2 = ( 5k ± 1) = 25k 2 ± 10k + 1 = 5 ( 5k 2 ± 2k ) + 1 = 5k ′ + 1 → V i n = 5k ± 2  n 2 = ( 5k ± 2 ) = 25k 2 ± 10k + 4 = 5 ( 5k 2 ± 2k + 1) − 1 = 5k ′ − 1 →2→ n2 không chia h t cho 5, v y gi thi t ph n ch ng là sai.→ n2 không chia h t cho 5, v y gi thi t ph n ch ng là sai. V y n2 chia h t cho 5 thì n chia h t cho 5 Ví d 2: [ VH]. Ch ng minh r ng a) N u a + b > 0 thì có ít nh t m t trong hai s a ho c b ph i dương. b) N u a và b là hai s dương thì a + b ≥ 2 ab . Hư ng d n gi i: a ≤ 0 a) Gi thi t ph n ch ng c a và b u không dương, t c   a + b ≤ 0 . i u này mâu thu n v i gi thi t. → b ≤ 0 V y n u a + b > 0 thì có ít nh t m t trong hai s a ho c b ph i dương.b) Gi s a và b là hai s dương và a + b < 2 ab  a + b − 2 ab < 0 ⇔ →V y n u a, b là hai s dương thì a + b ≥ 2 ab .(a− b)2< 0  vô lí. →BÀI T P LUY N T PBài 1: [ VH]. Ch ng minh r ng a) n u a + b < 2 thì m t trong hai s a, b ph i nh hơn 1. b) cho n là s t nhiên, n u 5n + 4 l thì n là s l . c) N u abc > 0 thì trong ba s a, b, c có ít nh t m t s dương. Bài 2: [ VH]. Ch ng minh r ng a) n u b 100 viên bi vào trong 9 cái h p thì có m t h p ch a ít nh t 12 viên bi. b) m t tam giác không ph i là tam giác u thì nó có ít nh t m t góc nh hơn 600. c) n u x ≠ −1 và y ≠ −1 thì x + y + xy ≠ −1. Bài 3: [ VH]. Ch ng minh b ng phương pháp ph n ch ng: a) v i s t nhiên n, n u 3n + 2 l thì n là s l . b) n u tích hai s nguyên chia h t cho 5 thì ph i có ít nh t m t s ch ...