Toán kinh tế - Phần II: Vi tích phân

Khái niệm hàm số: Giả sử các tập hợp và là miền biến thiên của các đại lượng biến thiên và .Đại lượng biến thiên y được gọi là hàm số của đại lượng biến thiên x nếu ứng với mỗi giá trị thuôc có tương ứng giá trị y thuộc Y theo một qui tắc nào đó.Ta viết là đối số của , và là hàm số của Trong chương trình phổ thông ta chỉ xét những hàm số đơn trị, tức là ứng với mỗi giá trị của x chỉ có tương ứng duy nhất một giá...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán kinh tế - Phần II: Vi tích phân PHẦN II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 1 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾNĐịnh nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈ X,được cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f, thìf được gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: f : X → Y x x f (x) x → y = f (x)a) Đơn ánh: ∀x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)b) Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃ x ∈ X: y = f(x)c) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánhd) Nếu f: X→Y là song ánh thì f-1: Y→X là ánh xạ ngược của f 01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 2 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa hàm số: Với X ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y là mộthàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của f , Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của f: M = max f ( x ) m = min f ( x ) x∈X x∈XVí dụ: Tìm miền xác định, giá trị hàm số y = 2x2 - 4x + 6 01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 3 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa phép toán: Cho f, g cùng miền xác định X: a) f(x) = g(x), ∀ x ∈ X b) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈X c) (fg)(x) = f(x)g(x), ∀x∈X d) Hàm số f/g có miền xác định X1 = X{x: g(x) = 0} : f f (x) ( )( x ) = , ∀x ∈ X1 g g( x ) e) (af)(x) = af(x), ∀x∈XVí dụ: Cho ba hàm số f(x) = x2 + 6, g ( x ) = x , h(x) = x + 2Xác định hàm số (f – 3h)/g và miền xác định của nó. 01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 4 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thờiu = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f(u) = f[g(x)] là hàm sốhợp của f và g. Ký hiệu fog.Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên tìm gof, goh và tìm miền xác định.Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X→Ylà một song ánh thì f-1: Y→X được gọi là hàm số ngược của f. Gọi (C), (C-1) là đồ thị của f, f-1 thì đồ thị của nó đối xứngvới nhau qua đường thẳng y = x. M(x,y) ∈ (C) ⇔ y = f(x) ⇔ x = f-1(y) ⇔ N(y,x) ∈ (C-1) 01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 5 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số đơn điệu:• f gọi là tăng trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ X: x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2)• f gọi là giảm trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ X: x1 < x2 => f(x1) ≥ f(x2)• f được gọi là bị chặn trên X nếu: ∃ M: f(x) M, ∀ x ∈ X ≤Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu.Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác địnhX, nhưng lại đơn điệu trên các tập D ⊂ X. 01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 6 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐHàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm sốđược gọi là tuần hoàn nếu: ∃ T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơsở của hàm số f. Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0 = 2π. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0=π. 01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 7 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐĐịnh nghĩa: Hàm số f có miền xác định X, với x ∈ X, -x ∈ X. a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx +  - x2 là hàm số chẵn, x g ( x ) = lg( x + x 2 + 1) là hàm số lẻ.Ghi chú: Gọi (C) là đồ thị của hàm số f. a) Nếu f là hàm số chẵn thì (C) đối xứng qua Oy: (x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (x,f(x)) ∈ (C) b) Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ: (x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (-x,-f(x)) ∈ (C) 01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 8 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐξ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ1. Hàm số luỹ thừa: y = xα , với α ∈ R Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc α.• α ∈ N: miền xác định R• α nguyên âm: miền xác định x ≠ 0.• α có dạng 1/p, p ∈ Z: miền xác định phụ thuộc vào p chẵn, lẻ• α là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = xα tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0và tại mọi x > 0 nếu α < 0. Đồ thị của y = xα luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạđộ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0. 01/11/10 Hàm số và giới hạn hàm số 9 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ3. Hàm số ...