Toán Ứng dụng 6

Tham khảo tài liệu toán ứng dụng 6, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán Ứng dụng 6Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Một siêu phẳng là tập hợp có dạng H  {x  E | f ( x)    R} trong đó f là dạng tuyến tính. ví dụ Cho phiếm hàm tuyến tính f thỏa: f (1,1,1)  1; f (1,0,1)  2; f (1,1,0)  1 Khi đó các siêu phẳng H  {x  R 3 | f ( x )    R} là những mặt phẳng. 36 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩaMột tập hợp C trong không gian tuyến tính X được gọi là lồinếu (0    1; x, y  C )  x  (1   ) y  C. Tập hợp các điểm có dạng:  a  (1   )b; 0    1 được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm a và b.Một tập hợp được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nốihai điểm bất kỳ của nó. 37 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ví dụ1) Trong R3, hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu là nhữngtập hợp lồi.2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a,bán kính r là một tập hợp lồi.Hướng dẫn. (x , y  B (a, r )) ||  x  (1   ) y  a || ||  (x  a)  (1   )( y  a) ||  || x  a || (1   ) || y  a ||   r  (1   )r  r 38 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------3) Mỗi không gian con của không gian tuyến tính là tập hợplồi.4) Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập hợp lồi.5) Nếu D, E là hai tập lồi, a là một điểm,  là một số thực thìcác tập hợp sau đây là những tập hợp lồi. D  a  { x  a, x  D } D  a  { x  a, x  D } D  E  { x  y ,x  D , y  E} D  E  { x  y ,x  D , y  E} 39 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------Định nghĩaCho A và B là hai tập hợp con của không gian định chuẩn E.Ta nói siêu phẳng H  {x  E | f ( x)    R} tách A và B theo nghĩa rộng, nếu (x  A )f (x )    (x  B )f (x )  Định nghĩaTa nói siêu phẳng H  {x  E | f ( x)    R} tách A và B theo nghĩa chặt, nếu   0 sao cho (x  A )f ( x )      (x  B )f ( x )     40