Toán Ứng dụng 7

Tham khảo tài liệu toán ứng dụng 7, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán Ứng dụng 7Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi) Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa véctơ không của không gian định chuẩn E. (x  E ) p (x )  inf{   0, 1x C } Khi đó hàm p thỏa 1) p ( x )   p (x ),   0 2) p ( x  y )  p ( x )  p ( y ) 3) toà taï M sao cho: ni a) (x  E ) 0  p ( x )  M || x || b ) C  { x  E : p (x )  1} 41 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chứng minh bổ đề 1 1) p ( x )   p (x ),   0 Neá   0 vaø   x , ta coù u y y x p ( y )  inf{  0 : C }  inf{  0 : C }   y y  inf{   0 : C }   inf{  0 : C }   p (x )   vaä p ( x )   p (x ) y 42 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3b ) C  { x  E : p (x )  1}x C , vì C môû 1   )x C , vôù ñuû hoû ( i n. 1Vaä p ( x )  y  1. 1 Ngöôï laï , neá p (x )  1,  0    1, sao cho  1x C ci uDo ñoùx   ( -1)x  (1   )0 C , 43 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------2) p ( x  y )  p ( x )  p ( y )x , y  E ,   0. Töø vaø (1) (3b), ta coù x 1 p( ) p (x )  1 p (x )   p (x )   y x vaø C C  p( y )   p(x )   tx (1- t ) y Suy ra, (t  [0,1]) C  p (x )   p ( y )   p (x )   xychoï t  n ta coù C p ( x )  p ( y )  2 p ( x )  p ( y )  2 p (x  y )  p ( x )  p ( y )  2  p ( x  y )  p ( x )  p ( y ) 44 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bổ đề 2 Giả sử C là tập hợp lồi, mở, không rỗng, x 0  E C . Khi đótồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho (x C ) f (x )  f (x 0 )Ñaëbieäsieâ phaúg cuû phöông trình [ f  f (x 0 )] taùh { x 0} t tu n a cvaø theo nghó roäg. C an 45